4. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

Пусть имеется математическая модель, приведенная в п. 2 данного практического задания.

2Х₁+3Х₂≤60; 3Х₁+2Х₂≤60; 4Х₁+20Х₂≤200; F=40Х₁+30Х₁→Мах.

Приведем эту задачу к канонической форме:

2Х₁+3Х₂+Х₃=60; 3Х₁+2Х₂+Х₄=60; 4Х₁+20Х₂+Х₅=200; F-40Х₁-30Х₂=0.

Дополнительные переменные Х₃, Х₄ и Х₅ равны разности между левой и правой частями ограничений и характеризуют недовыполнение данного ограничения (в данном случае – излишний запас).

Задача решается в стандартных симплексных таблицах. Исходная таблица заполняется коэффициентами исходной модели (табл. 2.2.2):

Таблица 2.2.2

Базис	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	аio	aip
Х3	2	3	1	0	0	60	20
Х4	3	2	0	1	0	60	30
Х5	4	20	0	0	1	200	10
F	-40	-30	0	0	0	0

Базисными переменными являются переменные, входящие только в одно уравнение, с коэффициентом +1. Базисным переменным соответствует единичный вектор-столбец.

Решение читается следующим образом: базисные переменные равны свободным членам, а свободные переменные (переменные, не вошедшие в базис) равны нулю. Таким образом, в исходной симплексной таблице

Х₁=(0; 0; 60; 60; 200); F=0.

Здесь значения переменных перечислены в порядке возрастания их индексов.

Это означает, что никакая продукция не выпускается (Х₁ и Х₂ равны нулю), остатки сырья равны их запасам (Х₁=60, Х₂=60, Х₃=200). При этом будет получена прибыль равная нулю, что совершенно естественно.

В качестве разрешающего столбца выбирается любой столбец с отрицательной оценкой в строке целевой функции F. Выберем в качестве разрешающего, – второй столбец. Для всех его элементов вычисляем симплексные отношения а_io/a_iр (отношение элемента столбца свободных членов к соответствующему элементу разрешающего столбца) и записываем их в последний столбец таблицы. Разрешающий элемент определяется минимальным симплексным отношением (в таблице он выделен жирным шрифтом и курсивом).

На месте разрешающего элемента ставится 1, а остальные элементы данного столбца равны нулю.

Остальные столбцы, соответствующие базисным переменным остаются без изменения. Столбец, соответствующий выводимой из базиса переменной пересчитывается по общему правилу, описанному ниже. В данном случае Х₂ вводится в базис вместо Х₅ и столбец Х₅ пересчитывается.

Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.

Все остальные элементы таблицы пересчитываются по правилу прямоугольника. Пересчитываемый элемент с разрешающим элементом и соответствующими элементами разрешающей строки и столбца образует прямоугольник, изображенный на рисунке 2.2.10.

Рисунок 2.2.10 – Прямоугольник пересчета элементов симплексной таблицы

Пересчет производится по следующему правилу: произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали, делим на разрешающий элемент. Это правило характеризуется формулой:

(2.2.3)

т.е. пересчитываемый элемент, умножается на разрешающий элемент, минус элемент соответствующего разрешающего столбца, умноженный на соответствующий элемент разрешающей строки, и эта разность делится на разрешающий элемент.

Например, пересчет элемента первого столбца первой строки:

Первая итерация расчета приведена в таблице 2.2.3.

Таблица 2.2.3

Результаты первой итерации расчета
Базис	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	аio	aip
Х3	1,4	0	1	0	-0,15	30	21,4
Х4	2,6	0	0	1	-0,10	40	15,4
Х2	0,2	1	0	0	0,05	10	50
F	-34	0	0	0	1,5	300

Как указывалось выше, решение задачи на любой итерации читается следующим образом: базисные переменные равны свободным членам (предпоследний столбец в таблице) а свободные переменные (те, которые не входят в базис) равны нулю. В данном случае

Х₃=30; Х₄=40; Х₂=10; Х₁=Х₅=0

Или в краткой форме записи:

Х₂=(0; 10; 30; 40; 0).

Здесь значения переменных приводятся в порядке возрастания их индексов.

Технико-экономический анализ полученного решения:

Выпускается десять единиц продукции второго вида (Х₂=10). При этом ресурс первого вида останется в количестве тридцати единиц (Х₃=30), ресурс второго вида останется в количестве сорока единиц (Х₄=40), а ресурс третьего вида оказывается израсходованным полностью (Х₅ свободная переменная, равна нулю).

Проверка полученного решения:

2×0+3×10+30=60; 3×0+2×10+40=60; 4×0+20×10+0=200; F=40×0+30×10=300.

Данное решение еще не является оптимальным, т.к. в строке целевой функции еще есть отрицательный элемент а_1F=-3,4.

Вторая и все последующие итерации выполняются аналогично.

Таблица 2.2.4

Результаты второй итерации расчета
Базис	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	аio	aip
Х3	0	0	1	0,54	0,1	8,5
Х1	1	0	0	0,38	0,04	15,4
Х2	0	1	0	0,74	0,17	6,9
F	0	0	0	1,3	0,19	823

Х₃=(15,4; 6,9; 8,5; 0; 0;); F_max=823 у. е.

Это решение оптимально, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных оценок.

Технико-экономический анализ полученного решения:

При имеющихся ресурсах следует выпустить 15,4 единицы (Х₁=15,4) продукции первого вида и 6,9 единиц продукции второго вида (Х₂=6,9). При этом ресурсы первого вида остаются в количестве 8,5 единиц (Х₃=8,5), а ресурсы второго и третьего вида израсходованы полностью (Х₄=Х₅=0).

Проверка:

2×15,4+3×6,9+8,5=60; 3×15,4+2×6,9+0=60; 4×15,4+20×6,9+0=200; F=40×15,4+30×6,9=823.

Сравнение полученных результатов с результатами графического метода подтверждает, что графический метод при всей своей наглядности не отличается достаточной точностью.