Задание 1.7.

Решить дифференциальное уравнение y' = sin²(x) + 0,2*x – 2 + x*y методом Рунге – Кутта, при заданных начальных условиях х₀ = 0, y(0) = 0 в заданных пределах [0; 5] с шагом не менее 0,5.

Решение:

1. Вычислительный алгоритм записывается следующим образом:

1.1. На первом шаге:

1.2. На втором шаге получим:

k₁ = -0,9993;

k₂ = -1,1264;

k₃ = -1,1503;

k₄ = -1,4496;

y₂ = -1,341;

1.3. Дальнейшие результаты занесём в таблицу:

xi	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0
yi	0	-0,0657	-1,341	-2,235	-3,812	-7,093	-14,244	-29,985	-64,258	135,013	262,397
yi+1	-0,657	-1,341	-2,235	-3,812	-7,093	-14,244	-29,985	-64,258	-135,013	-262,397	-427,685

Ответы на контрольные вопросы вопросы:

Интерполяция:

1. Сколько существует интерполяционных полиномов степени n?

Интерполяционный полином степени n при наличии n+1 точки единственный, так как он содержит n+1 коэффициентов, определяемых однозначно с использованием заданных точек.

2. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?

На точность интерполяции влияют, как это видно из формулы погрешности: число узлов, свойства исходной функции (посредством производной (n+1)-го порядка), расположение узлов в интервале, положение точки, в которой определяется погрешность.

3. Каким путём в общем случае можно повысить точность интерполяции?

Точность интерполяции в заданной точке можно повысить за счёт некоторого повышения числа узлов и оптимального их размещения на заданном интервале.

Аппроксимация:

1. Назначение весовых коэффициентов в критерии близости исходной и аппроксимирующей функции?

Весовые коэффициенты в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций показывают относительную важность “вклада” точки в общую сумму квадратов отклонений (в случае квадратичного критерия). Варьируя их, можно повысить точность аппроксимации в отдельных точках, как правило, в наиболее важных в конкретной задаче.

2. Что можно отнести к достоинствам минимаксного критерия близости в методе равномерного приближения?

К достоинствам критерия близости в этом методе можно отнести твёрдую уверенность в отсутствии больших отклонений, чем полученное при аппроксимации, а также более очевидную оценку близости исходной и аппроксимирующей функций.

Вычисление интегралов:

1. Дана подынтегральная функция f(x) = 1500x. Какой из методов будет наиболее эффективен?

Т.к. функция линейная, то метод трапеций даст абсолютно точный результат. В основу этого метода заложена замена подынтегральной функции трапецией. Можно вычислить и другими методами, но этот наиболее прост.

2. В каких случаях метод прямоугольников находит применение?

Метод прямоугольников как один из самых простых методов находит применение при приближённых (оценочных) вычислениях интегралов с невысокой точностью.

3. Как изменяется погрешность нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n?

При уменьшении числа разбиений n исходного интервала погрешность численного интегрирования, как правило, увеличивается. Исключения составляют случаи, когда интеграл вычисляется численным методом точно, в этих случаях уменьшение числа интервалов не изменит погрешность.

Решение нелинейных уравнений:

1. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе половинного деления?

Один из концов отрезка следующего интервала в методе половинного деления всегда находится в середине текущего отрезка, а второй – на конце той половины, где функция f(x) имеет другой знак, чем в уже выбранной точке (чем в середине текущего отрезка).

2. Какие корни позволяет определять метод хорд?

Метод хорд позволяет определять предварительно отделённые корни.

3. Какими свойствами должна обладать f(x) для того, чтобы методом хорд можно решить уравнение f(x)=0?

Для того чтобы решить нелинейное уравнение f(x) методом хорд, функция f(x) должна быть непрерывной и монотонной.

4. Как выбираются концы отрезка интервала в методе Ньютона при f(a)f(b)<0?

“Закреплённым” будет правый конец.

6. В чём заключается геометрический смысл метода парабол?

Геометрический смысл метода парабол заключается в замене нелинейной функции f(x) на участке отделения параболой второго порядка, построенной по трём точкам.

7. Можно ли утверждать, что в методе парабол последовательные приближения могут лежать по одну сторону от корня?

Нет, они могут лежать по разные стороны от корня.

Дифференциальные уравнения:

1. Какой вид имеет рекуррентная формула метода Рунге-Кутта?

Рекуррентная формула при решении уравнения y’=f(x,y) имеет вид: y^j+1=y^j+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6, где j – номер шага, k₁,k₂,k₃,k₄ – коэффициенты, рассчитываемые по формулам k₁=x f(x,y), k₂=x f(x+x/2, y+k₁/2), k₃=x f(x+x/2, y+k₂/2), k₄=x f(x+x), y+k₃), где х – шаг решения.

2. Когда используется метод Эйлера?

Метод Эйлера используется для решения задач, относящимся к задачам Коши.

3. Достоинства многошаговых методов?

К достоинствам многошаговых методов относят меньший требующийся объём вычислений при реализации метода, так как при одинаковом порядке метода (например, четвёртом в методе Рунге-Кутта и Милна) требуется не четыре, а только два раза вычислять правую часть дифференциального уравнения (хотя требуется дополнительная память для хранения предыдущих точек).