Задание 1.5.

Задана система нелинейных уравнений:

s in(x₂+1) – x₁ = 1,2 = f₁(х₁,х₂);

2*x₂ + cos(x₁) = 2 = f₂(х₁,х₂); , решить ее методом Ньютона – Рафсона.

Решение:

1. Найдем выражения для производных:

df₁/dx₁ = – 1;

df₂/dx₁ = – sin(x₁);

df₁/dx₂ = cos(x₂+1);

df₂/dx₂ = 2;

2. Новые точки будем находим через предыдущие:

x₁ⁱ⁺¹ = x₁ⁱ + h₁ⁱ

x₂ⁱ⁺¹ = x₂ⁱ + h₂ⁱ

Величины h будем находить из решения системы уравнений

В качестве начальной точки возьмём х₁⁰ = 0,00 и х₂⁰ = 1,14, результаты вычислений сведём в таблицу:

i	x1	x2	df1/dx1	df1/dx2	df2/dx1	df2/dx2	h1	h2
0	0,0000	1,1400	-1	-0,5390	0,0000	2	-0,013	-0,64
1	-1,0130	0,5000	-1	0,0707	0,0130	2	-0,189	1,27
2	-0,2020	0,5013	-1	0,0694	0,2006	2	2*10-4	9*10-3
3	-0,2018	0,5103

Ответ: х₁ = -0,202 и х₂ = 0,510

Задание 1.6.

Для заданного алгебраического уравнения:

Р₇(х) = 5x⁷ – 6x⁶ – 3x⁵ + 4x⁴ + 8x³ + 2x² – 3x + 5,

найти общее количество корней, количество положительных и отрицательных корней, предельные значения корней и выделить один действительный корень методом Кольца.

Решение:

1. Определение числа корней для алгебраического уравнения, с помощью правила Декарта:

Р₇(х) = 5x⁷ – 6x⁶ – 3x⁵ + 4x⁴ + 8x³ + 2x² – 3x + 5;

Это уравнение имеет 7 корней. Знаки коэффициентов образуют следующую последовательность: +, –, –, +, +, +, –, +. Знаки меняются 4 раза, следовательно, корней будет либо 4, либо 2, либо 0. Для отрицательных Р₇(–х): –, –, +, +, –, +, +, +. Знак меняется 3 раза, следовательно, корней будет либо 3, либо 1, либо 0.

2. Метод Кольца:

Определение границ корней данного уравнения:

а₀ = 5;

А = max{|a₁|,|а₂|,…,|а_n|} = 8 ;

|а_n| = 5;

В = max{|a₀|,|а₁|,…,|а_n|} = 8

Используя формулы, получим:

Отсюда следует, что положительные корни находятся в интервале

(0,385; 2,6), а отрицательные – (-2,6; -0,385). Но указание границ корней не означает, что такие корни обязательно есть.

3. Уточнение действительного корня:

При выделении действительного корня процесс его получения носит итерационный характер и реализуется по формуле:

Здесь через x_i и x_i+1 обозначены соответственно i-е и (i+1)-е приближения выделяемого корня.

Примем в качестве начального значения х = 0,85. Результаты итерационного вычислительного процесса сведём в таблицу:

i	xi	xi+1
0	-0,70000000	0,84904
1	-1,95961390	-0,01231597
2	-0,01231597	1,65375305
3	1,65375305	-0,10892621
4	-0,10892621	1,59824850
5	1,59824850	-0,13105218

В этом случае итерационный процесс расходящийся. Решение здесь не получить (т.е. не найти значение действительного корня).