11

Министерство образования Российской Федерации

Ярославский государственный технический университет

Кафедра кибернетики

Отчет защищен

с оценкой ________

Преподаватель

к. т. н., доцент

Василькова Н.Н.

20.05.04

Расчетно-графическая работа

по курсу “Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании”

КТВММ 0204.210200.00 РГР

Отчет выполнил

студент гр. МА-34А:

__________Репин С.Е.

20.05.04

Ярославль 2004.

Задание 1.1.

1. Используя заданную функцию f(x) = sin²(х) + 0,2 *х – 2, рассчитать 5 точек в интервале [0; 1,25], которые использовать как узлы интерполяции.

2. Выбрать точку «х» внутри этого интервала, в которой восстановить

значение функции с помощью метода Лагранжа.

3. Найти погрешность интерполяции путём сравнения полученного значения и рассчитанного по f(x).

Решение:

1. f(x) = sin²(х) + 0,2 *х – 2, на интервале: [0; 1,25].

x	0	0,25	0,5	1	1,25
y	-2	-1,889	-1,67	-1,092	-0,849

2. f(0,75) = sin²(0,75) + 0,2 *0,75 – 2= -1.385

Q₀(x) = 0,1

Q₁(x)= - 0.5

Q₂(x)= 1

Q ₃(x)= 0,5

Q₄(x)= -0,1

L_n (x) = -1,387;

3. R(x) = |f(x) – L_n(x)| ≤ max |f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| _* ∏ (x – x_i);

(n + 1)!

f ' = 1,197;

f '' = 0,141;

f ''' = -3,99;

f ⁽⁴⁾ = -0,566;

f ⁽⁵⁾ = 15,96;

f(x) – L_n(x) = - 1,385–(-1,387) = 0,002.

Задание 1.2.

Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка: y = d₂x² + d₁x+d₀, методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных. Получить среднеквадратичную погрешность критерия близости и расчетное значение «y» в третьей точке.

Решение:

1. Данные из предыдущего пункта:

x	0	0,25	0,5	1	1,25
y	-2	-1,889	-1,67	-1,092	-0,849

∑ x_i = 3 ∑ x_i² = 2,875 ∑ x_i³ = 3,094 ∑ x_i⁴ = 3,508

∑ y_i = -7,5 ∑ y_i*x_i = -3.461 ∑ y_i*x_i² = -2.954

Решая эту систему уравнений, находим:

d₀ = -2,02;

d₁ = 0,563;

d₂ = 0.317;

Уравнение аппроксимирующей функции №1 имеет вид:

y = -2,02*x² + 0,563*x –0.317

2. Весовой коэффициент у третьей точки в 3 раза больше, чем у остальных:

i	1	2	3	4	5
x	0	0,25	0,5	1	1,25
y	-2	-1,889	-1,67	-1,092	-0,849
β	1	1	3	1	1

β₃ = 3, тогда:

∑ x_i = 4 ∑ x_i² = 4,875 ∑ x_i³ = 6,344 ∑ x_i⁴ = 8,508

∑ y_i = -10.84 ∑ y_i*x_i = -10.14 ∑ y_i*x_i² = -6.024

Решая эту систему уравнений, находим:

d₀ = 5.343;

d₁ = -52.549;

d₂ = 35.414;

Уравнение и график аппроксимирующей функции №2 имеет вид:

y = 5.343*x² – -52.549*x + 35.414;

3. Погрешность

а) для первой аппроксимирующей функции:

R = 0,004;

б) для второй аппроксимирующей функции:

R = 1341;

4. Среднеквадратичная погрешность:

а) для первой аппроксимирующей функции:

=0.03

б) для второй аппроксимирующей функции:

=16,375

5. Расчётное значение «у» в третьей точке, т.е. х = 0,5:

	При первой аппрокс. функц.	При второй аппроксим. функц.
y	-1,659	-22,764