Решение

f(x)=1,5x+8sin(1,5x+2), в интервале [-5, 5/4]

Интерполяция методом Ньютона:

1. Рассчитаем 5 точек в интервале [-5, 5/4]

x	-5	-3,75	-2,5	-1,25	0
F(x)	-1,856	-1,907	-11,622	-0,878	7,274

Найдем f(-4)

Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, для чего предварительно составим таблицу конечных разностей:

x	f(x)	y	2y	3y	4y
-5	-1,856	-0,051	-9,664	30,123	-53,174
-3,75	-1,907	-9,715	20,459	-23,051
-2,5	-11,622	10,744	-2,592
-1,25	-0,878	8,152
0	7,274

f(-4) = 1,5*(-4) + 8sin(1,5*(-4)+2) = 0,054

Оценим погрешность: R(x) = |f(x)-Pn(x)| = |0,054-0,776| = 0,722

Задание 1.2. Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка y = методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третей точке в 3 раза большем, чем в остальных. Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчетное значение у в третей точке.

Решение

x	-5	-3,75	-2,5	-1,25	0
F(x)	-1,856	-1,907	-11,622	-0,878	7,274

Система нормальных уравнений будет выглядеть следующим образом:

Используя имеющиеся данные, получим:

n = 5, , ; ; ; ;

;

Решаем полученную систему уравнений относительно :

Аппроксимирующая функция имеет вид:

y =

Приведем расчетные значения функции:

X	-5	-3,75	-2,5	-1,25	0
Y	1,155	-8,93	-8,6	2,12	23,25

Где F(x) – исходная функция

Y- аппроксимирующая

Квадратичный критерий близости:

(-1,856-1,155)²+(-1,907+8,93)²+(-11,622+8,6)²+(-0,878-2,12)²+(7,274-

-23,25)²=331,742

Среднеквадратическая погрешность аппроксимации:

Для более точной аппроксимации надо повышать степень полинома.

Задание 1.3. Дано уравнение f(x) = 0. Отделить корни в интервале [a, b] и уточнить один из них методом половинного деления. Разработать блок-схему алгоритма используемого метода. Результаты представить в виде таблиц и графиков в координатах f(x)-х, n (номер шага).