Министерство образования и науки

Ярославский государственный технический университет

Кафедра кибернетики

Расчетную работу проверила

Преподаватель

__________ Н.Н. Василькова

Расчетная работа

по курсу “ КТВММ ”

КТВвМ 0204.210200.109.ЛР

Работу выполнил

студент гр.МА-33

_______К.В. Герасимов

2004

Задание 1.0. Ответы на вопросы:

Интерполяция.

1. Сколько существует интерполяционных полиномов степени n?

Интерполяционный полином степени n единственный (при наличии n + 1 точки), поскольку он содержит n + 1 коэффициентов, которые определяются однозначно с использованием заданных точек.

2. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?

На точность интерполяции в методе Лагранжа влияют: свойства исходной функции, число узлов, положение точки, в которой определяется погрешность, а также расположение узлов в интервале.

3. Каким путём в общем случае можно повысить точность интерполяции?

В общем случае точность интерполяции можно повысить путём некоторого повышения числа узлов, а также их оптимального расположения на заданном интервале.

Аппроксимация.

1. Назначение весовых коэффициентов в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций?

Весовые коэффициенты в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций учитывают относительную важность “вклада” точки в общую сумму квадратов отклонений. Увеличение весовых коэффициентов приводит к уменьшению прежде всего отклонения в отдельных точках, т. е. повышается точность аппроксимации в определённых точках.

2. Что можно отнести к достоинствам минимаксного критерия близости в методе равномерного приближения?

К достоинствам минимаксного критерия близости в методе равномерного приближения можно отнести следующее: равномерное приближение обеспечивает несколько лучшую аппроксимацию, чем среднеквадратичное; более очевидная оценка близости исходной и аппроксимирующей функций.

Вычисление интегралов.

1. Дана подынтегральная функция F(x) = 1500 х. Какой из методов будет наиболее эффективен?

Наиболее эффективен в данном случае метод трапеций, т.к. заданная функция является линейной и метод трапеций – самый простой из методов, он вычислит данный интеграл с высокой точностью.

2. В каких случаях метод прямоугольников находит применение?

Метод прямоугольников находит применение при приближённых вычислениях интегралов с невысокой точностью.

3. Как изменяется погрешность нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n?

При уменьшении числа разбиений n погрешность нахождения интеграла, как правило, увеличивается. Однако существуют исключения, когда интеграл вычисляется численным методом точно. В таком случае при уменьшении числа разбиений погрешность не изменяется.

Решение линейных уравнений.

1. Как выбираются концы отрезка следующего интервала в методе половинного деления?

Один из концов отрезка следующего интервала всегда находится в середине текущего отрезка, а второй конец – на конце той половины, где функция имеет знак, отличный от знака в середине текущего отрезка.

2. Какие корни позволяет определить метод хорд?

Метод хорд позволяет определить предварительно отделённые корни.

3. Какими свойствами должна обладать f(x) для того, чтобы методом хорд можно решить уравнение f(x)= 0?

Метод хорд применим только для непрерывных и монотонных функций.

4. Как выбираются концы отрезка интервала в методе Ньютона при

f(a)*f″(а) > 0 ?

В качестве начальной точки берётся левая точка х₀ = а.

5. В чём заключается геометрический смысл метода парабол?

Геометрический смысл метода парабол заключается в замене исходной нелинейной функции f(x) на интервале, где f(x) имеет только один корень, параболой: f(x)= c₀ + c₁ x+ c₂ x² .

6. Можно ли утверждать, что в методе парабол последовательные приближения могут лежать по одну сторону от корня?

Нет нельзя, они могут лежать по разные стороны от корня.

Дифференциальные уравнения.

1. Какой вид имеет рекуррентная формула метода Рунге – Кутта?

Рекуррентная формула метода Рунге – Кутта:

Y _i+1 = y_i+(k₁+2*k₂+2*k₃+k₄)/6, где k₁=h*f(x_i,y_i); k₂= h*f(x_i+h/2, y_i+k₁/2);

K₃= h*f(x_i+h/2, y_i+k₂/2); k₄= h*f(x_i+h, y_i+k₃),

h – шаг решения.

2. Когда используется метод Эйлера?

Метод Эйлера в основном используется как учебный, т. к. в практических расчётах он даёт значительную погрешность.

3. Достоинства многошаговых методов.

Достоинства многошаговых методов следующие: меньший требующийся объём вычислений.

Задание 1.1. Используя заданную функцию f(x) рассчитать 5 точек в интервале [a, b/4], которые использовать как узлы интерполяции. Выбрать точку внутри интервала, в которой восстановить значение функции с помощью заданного метода интерполяции. Найти погрешность интерполяции путем сравнения полученного значения и рассчитанного по f(x).