Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный технический университет
Кафедра кибернетики
Отчет защищен
с оценкой ________
Преподаватель
к. т. н., доцент
Василькова Н.Н.
26.05.04
Расчетно-графическая работа
по курсу “Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании”
КТВММ 0204.210200.00 РГР
Отчет выполнил
студент гр. МА-34:
__________Иванов И.О.
26.05.04
Ярославль 2004.
Задание 1.0. Ответы на вопросы по темам:
Интерполяция:
1. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?
В принципе может, в методе не заложено ограничений на применение для экстраполяции.
2. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?
Да, можно. Только это приведёт к увеличению работы, т.к. придётся заново рассчитывать интерполяционное значение функции.
Аппроксимация:
1. Можно ли при аппроксимации таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?
В принципе, это возможно, если задать степень аппроксимирующего полинома равной номеру последней точки (если нумерация точек идёт с нуля). Однако в этом случае аппроксимирующая функция превращается в интерполяционную.
2. Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функции?
Нет, не всегда. Например, при введении отличных от единицы весовых коэффициентов (например, всех одинаковых) критерий увеличивается за счёт коэффициентов, а не за счёт увеличения отклонений.
3. Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?
Можно, но не выше количества исходных точек без единицы.
Вычисление интегралов:
1. Дана подынтегральная функция f(x) = 1500x. Какой из методов будет наиболее эффективен?
Т.к. функция линейная, то метод трапеций даст абсолютно точный результат. В основу этого метода заложена замена подынтегральной функции трапецией. Можно вычислить и другими методами, но этот наиболее прост.
2. Дана подынтегральная функция f(x) = x2. Можно ли каким либо численным методом вычислить интеграл без ошибки?
Т.к. эта функция квадратичная, то метод Симпсона даст абсолютно точный результат. Этот метод основан на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится по 3-ём точкам на каждом участке. И она обеспечивает точное вычисление интеграла даже и при полиноме третьей степени. Можно вычислить и другими методами, но этот наиболее прост.
3. В каких случаях метод трапеций находит применение?
Этим методом пользуются при вычислении интегралов со значительно невысокой точностью. А также можно его использовать при интегрировании функций с невысокой скоростью изменения.
Решение нелинейных уравнений:
1. В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления?
В том, что при последовательном делении отрезка, где расположен корень, пополам. Путём сравнения знаков функции на концах каждой из двух половинок (они должны быть разные), отделяют ту половинку, в которой содержится решение.
2. Что необходимо для нахождения хотя бы 1–го действительного корня уравнения f(x) = 0 методом половинного деления?
Необходимо выполнить процедуру «отделения корней». Иначе, корень может найтись в том случае, если при каждом делении отрезка пополам на одной из половинок будет получаться разный знак функции f(x).
3. Всегда ли метод хорд позволяет вычислить отдельный корень с заданной погрешностью?
Нет, не всегда. Для этого необходимо чтобы функция была монотонной, хотя бы в окрестности корня, и она должна иметь невысокую крутизну.
4. В чём заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона?
Нелинейная функция f (x) на интервале [a,b] заменяется линейной, в качестве которой берётся касательная к одному из концов отрезка.
6. Что необходимо для того, чтобы f(x) = 0 решалось методом Ньютона?
Необходимо, чтобы функция f(x) была непрерывной и монотонной.
7. Как выбираются концы отрезка интервала в методе парабол на втором и последующем шагах?
Выбираются так, чтобы последнее найденное приближение корня оказалось средней точкой, а крайними точками отрезка были ближайшие к ней, лежащие слева и справа. На втором этапе строят параболу по трём точкам: найденному приближённому корню и двум предыдущим точкам (слева и справа от этой точки), лежащим по разные стороны от оси Х. Такой вариант выбора точек быстрее приводит к решению (чем последовательно брать последовательно 3 точки).
Дифференциальные уравнения:
1. Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?
Начальные условия необходимы для численного решения дифференциального уравнения, но искать их не надо, они должны быть заданы в условии задачи.
2. Недостатки метода Рунге – Кутта.
Недостатком является то, что для расчёта одного значения функции необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения, на каждом шаге. Зато этот метод является более точным, чем метод Эйлера.
3. Погрешность метода Рунге – Кутта n-ого порядка.
Погрешность решения можно определить, воспользовавшись приёмом двойного просчёта. Исходя из значения y(x[i]) вычисляют y(x[i]+2*h) с шагом «h» и с шагом «2*h». Если разность полученных значений превышает погрешность, то шаг h уменьшают вдвое. Также погрешность этого метода пропорциональна ∆х4, где ∆х – шаг решения.
4. Что определяет порядок метода?
Порядок метода определяет количество предыдущих значений функции, требующееся для расчёта одного следующего.