Проекции

В математическом смысле проекции - это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности меньшей, чем n, или, как еще говорят, на подпространство исходного пространства. В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную картинную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Определенный таким образом класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).

Плоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования.

Различают следующие проекции.

0. Ортографическая – картинная плоскость совпадает с одной из плоскостей проецирования или параллельна ей. Т.е. можно отбросить z.

1. Аксонометрическая – лучи проецирования перпендикулярны картинной плоскости.

2. Косоугольная - делится на свободную и кабинетную (см. ниже).

3. Триметрическая – углы между нормалью картинной плоскости и осями координат все различны.

4. Диметрическая – два угла равны.

5. Изометрическая – все углы равны.

6. Свободная – угол наклона лучей к картинной плоскости 45.

7. Кабинетная – частный случай свободной, но масштаб по z вдвое меньше.

В общем случае имеется три точки схода, для каждой из осей.

При одной точке схода лучей матрица проецирования имеет вид:

Другая интерпретация (необязательно):

1. Ортогональная – матрица преобразования осуществляет только вращение, т.об. координатные оси остаются ортогональными во время проецирования. Для получения проекции достаточно отбросить координату z.

2. Диметрическая – две из трех осей во время проецирования сокращаются на одинаковое значение.

3. Изометрическая – все три оси во время проецирования сокращаются на одинаковое значение.

4. Перспективная – точка (x,y,z) удаляется от плана просмотра на расстояние D:

X^*=D*x/z Y^*=D*y/z

Алгоритм Коэна - Сазерленда отсечения прямоугольной областью

Пусть задан некоторый прямоугольник Р со сторонами параллельными осям координат. I – некоторое изображение. Тогда получение называют задачей отсечения, Р – поле индикации.

Для векторных изображений (из отрезов) применяют алгоритм Коэна-Сазерленда. Идея состоит в следующем. Вся зрительная поверхность продолжениями сторон поля индикации разбивается на 9 областей. Каждой области приписывается 4-х разрядный двоичный код.

Если некоторая область (из 9-ти) выше центральной области (0000), то второй разряд -1, если правее - то третий разряд - 1 и т.д.

Очевидно, что решение задачи для произвольного вектора изображения сводится к решению для одного отрезка.

Концам отрезка приписываются коды соответствующих областей: А - 1001, В - 0100.

Если поразрядная дизъюнкция этих кодов неравна 0, то выполняется поразрядная конъюнкция и если она неравна 0, то весь отбрасывается простейшим способом. В других случаях продолжениями сторон поля индикации отрезок разбивается на две части и для каждой части вновь выполняется описанная процедура.

Пример.

Проверяем a и b. Вводим точку с (1001), следовательно ас отбрасываем, рассматриваем сb. Вводим точку d с координатами (1000), cd отбрасываем. Вводим точку е (0100), eb отбрасываем. Остается de.