Диаграмма Вороного

Локусом будем называть область точек, обладающих требуемым свойством.

Пусть на плоскости задано множество S, содержащее N точек. Требуется для каждой точки p_i множества S определить локус точек (x,y) на плоскости, для которых расстояние до p_i меньше, чем до любой другой точки множества S.

Интуитивно решение этой задачи представляется как построение разбиения плоскости на области, каждая из которых является локусом точек (x,y), более близких к некоторой точке множества S, чем к любой другой точке S. Если имеются две точки Pi и Pj, то множество точек, более близких к Pi, чем к Pj , есть полуплоскость, определяемая прямой, перпендикулярной отрезку PiPj и делящей его пополам и содержащая точку Pi. Обозначим эту полуплоскость Н(Pi,Pj). Множество точек, более близких к Pi, чем к любой другой точке, которое будем обозначать V(i), получается в результате пересечения N-1 полуплоскостей. Это множество является выпуклой многоугольной областью, имеющей не более N-1 сторон.

Область V(i) называется многоугольником Вороного, соответствующим точке Pi.

Получаемые таким образом N областей образуют разбиение плоскости, представляющее некоторую сеть, называемую диаграммой Вороного. Диаграмму Вороного множества точек S будем обозначать Vor(S).

Свойства диаграммы Вороного.

Будем считать, что справедливо следующее предположение: Никакие четыре точки исходного множества S не лежат на одной окружности.

Заметим, что каждое ребро диаграммы Вороного является отрезком прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему некоторую пару точек множества S, и делящей этот отрезок пополам. Таким образом, ребро принадлежит в точности двум многоугольникам.

Теорема 1. Каждая вершина диаграммы Вороного является точкой пересечения в точности трех ребер диаграммы.

Доказательство. Предположим, что вершина v является точкой пересечения некоторого множества ребер е1, е2,..., еk (k>=2), перечисленных в порядке обхода вокруг вершины по часовой стрелке. (См. рис.) Ребро еi является общим для многоугольников V(i-1) и V(i), где i=2,...,k, а ребро e1 является общим для V(k) и V(1). Заметим, что так как v принадлежит ребру ei, то она одинаково удалена от точек pi-1 и pi. С другой стороны, аналогичным образом получаем, что она равноудалена от точек pi и pi+1 и т.д. Таким образом, вершина v равноудалена от точек p1, p2, ..., pk. Но это значит, что точки p1,p2...,pk лежат на одной окружности, и тем самым в случае k>=4 нарушается принятое предположение. Следовательно, k<=3. Предположим теперь, что k=2. В этом случае оба ребра e1 и e2 принадлежат многоугольникам V(2) и V(1), поскольку оба они принадлежат перпендикуляру, делящему пополам отрезок p1p2. А так как они не пересекаются в v, то вновь получим противоречие.

Теорема 1 эквивалентна следующему утверждению: вершины диаграммы Вороного являются центрами окружностей, каждая из которых определяется тремя точками исходного множества. Обозначим через С(v) окружность, соответствующую вершине v.

Теорема 2. Для каждой вершины v диаграммы Вороного множества S окружность С(v) не содержит никаких других точек множества S.

Доказательство. (Метод от противного.) Пусть р1, р2 и р3 – три точки множества S, определяющие окружность С(v). Если окружность С(v) содержит еще некоторую точку множества S, например р4, то вершина v находится ближе к р4, чем к любой из точек р1, р2 или р3, и в этом случае в соответствии с определением диаграммы Вороного вершина v должна находится в V(4), а не в каком-либо из многоугольников V(1), V(2) или V(3). Но это противоречит тому, что вершина v принадлежит одновременно V(1), V(2) и V(3).

Теорема 3. Каждый ближайший сосед точки Pi в S определяет ребро в многоугольнике диаграммы Вороного V(i).

Доказательство. Пусть Pj является ближайшим соседом Pi, а v – середина соединяющего их отрезка. Предположим, что v не лежит на границе V(i). Тогда отрезок Piv пересекает некоторое ребро многоугольника V(i), например равноудаленное от Pi и Pk, в некоторой точке u. Тогда длина (Piu)< длина(Piv) и поэтому длина(PiPk)<= 2 длина(Piu)< 2 длина(Piv) = длина(PiPj), откуда следует, что Pk ближе к Pi, чем Pj, что противоречит условию теоремы.

На рис. Прямая, равноудаленная от точек Pi и Pj.

Теорема 4. Многоугольник V(i) является неограниченным тогда и только тогда, когда точка Pi лежит на границе выпуклой оболочки множества S.

Без доказательства.

Рассмотрим теперь граф, двойственный диаграмме Вороного, т.е. граф, уложенный на плоскости и получаемый в результате соединения отрезками каждой пары точек множества S, многоугольники Вороного которых имеют общее ребро. В результате получается граф с вершинами в исходных N точках. Триангуляция Делоне.

Теорема 5. Граф, двойственный диаграмме Вороного, является триангуляцией Делоне.