Обработка цифровых сигналов

Изображение может быть представлено пятью элементами:

f(x,y,z,t,λ) – функция непрерывного изображения.

Любой непрерывный сигнал S(t) может быть подвержен дискретизации по уровню t и квантованию по уровню. Если частота дискретизации сигнала F_α не меньше чем удвоенная частота в спектре сигнала F_max: F_α≥2* F_max, то полученный дискретный сигнал будет эквивалентен S(k) согласно т.Котельникова. При помощи математических алгоритмов можно преобразовать: S(k)->S₁(k)…

Процесс преобразования сигнала – фильтрация. Виды: программная и аппаратная. Отсчеты сигналов поступают с постоянной скоростью F_α, то фильтр должен текущий отчет до поступления следующего. Чаще всего происходит, что появляются промежутки между отчетами, называется временем задержки фильтра. Для обработки сигналов фильтрации в реальном времени применяют специальные устройства – цифровые сигнальные процессоры. Этот принцип применяют для непрерывных сигналов и для сигналов, записанных на магнитные носители.

Различают методы обработки сигналов во временной и частотной области. Эквивалентность частотно-временных сигналов определяется через преобразование Фурье. Электронный осциллограф используется во временной области. Цифровые анализаторы спектра для представления сигнала используются в частотной области.

Теорема Котельникова (Теорема отсчета).

Если аналоговый сигнал X(t) имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, которые берутся с частотой строго больше удвоенной максимальной частоты спектра Ω, взятая с полупериодом .

Рассмотрим для идеального случая (сигнал бесконечен, без временных разрывов). В неидеальном случае полное восстановление сигнала невозможно.

Следствие 1. Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен, с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой

Следствие 2. Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый не существует.

Поэтому Теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде интерполяционного сигнала:

Мгновенное значение ряда и есть наши дискретные сигналы отсчета.

Восстановление сигналов, теорема отсчетов.

При дискретизации сигналов в общем случае происходит перекрытие спектров, и результирующий сигнал на произвольной частоте представляет собой сумму многих составляющих , складывать которые необходимо с учетом их фаз.

Если учитывать лишь несколько перекрывающихся спектров, то точность может быть подвергнута сомнению. В дискр. методах частотные методы не нашли применения.

Спектр дискретизации сигнала содержит спектр исходного сигнала . В этом состоит отличие от проц-х модуляции, при которых спектр исходного сигнала отсутствует.

Исходный сигнал можно восстановить с помощью фильтрации, это только при выполнении двух условий:

- спектры сигналов не должны перекрываться

- Фильтр должен иметь идеальную прямоугольную форму, и поэтому он будет полностью пропускать и подавлять все другие спектральные составляющие.

Первое условие требует, чтобы в спектре не были составляющие на частотах выше , спектры не перекрываются.

Второе условие не может быть полностью выполнено, поскольку любой реальный фильтр не имеет идеальных характеристик.

Все это указывает на то, что теоретически можно идеально восстановить сигналы с ограниченным спектром по его выборка, если частота дискретизации превышает 2x, где х – максимальная спектральная составляющая сигнала.