Функция передачи модуляции
Одним и преимуществ формулы 9.12 является то, что эта свёртка позволяет рассматривать фильтры в качестве мультипликативных масок в области пространственных частот.
Рассмотрим идеальный LPF:
Kc – эффективная часть отсечки.
Отсюда можно увидеть, что идеальный LPF – это идеальная маска Фурье-образов, которая полностью пропускает частотные компоненты ниже частоты отсечки и соответственно задерживает все компоненты выше этой частоты. Амплитудный фильтр Wkl ещё называется функцией передачи модуляции.
Значение функции передачи модуляции при нулевой частоте равно сумме весовых коэффициентов соответствующего фильтра, используемого в качестве ядра свёртки.
Среднее значение пикселя изображения после фильтрации равно среднему значению пикселей исходного изображения, униженному на функцию передачи модуляции при нулевой частоте.
НЧФ и ФУВЧ не изменяют среднего значения, а после применения ФВЧ среднее значение становится равным 0.
При анализе усредняющих фильтров появляются проблемы:
Отсутствие осевой симметрии и противоречивое поведение при высоких пространственных частотах
Проблема связана с обращением фазы – это эффект, приводящий к появлению искажений при отображении небольших периодических объектов.
При простой коррекции эти проблемы будут несущественны.
На практике ситуацию можно существенно улучшить, если использовать в прямоугольном окне фильтрации гауссову функцию.
Например, фильтра гаусса низких частот 3х3 будет иметь вид:
Несмотря на то, что гауссова функция обрезается окном с размерами 3х3, эффект, связанный с асимметрий оказывается намного меньше, чем у обычного усредняющего фильтра. А оставшуюся осевую асимметрию можно снизить, увеличив размер окна фильтрации. Точно такие же гауссовы фильтры можно получить и для ФУВЧ и для ФВЧ.
Пространственный спектр мощности сигнала
Одни из наиболее полезных инструментов для решения задач этого типа является пространственный спектр мощности сигнала или квадрат амплитудного спектра. Можно привести след. Примеры соотношений между пространственной областью и областью пространственных частот:
Пространственная область |
Область пространственной частоты |
Периодическая структура (напр., городская застройка) |
Пики с высокоамплитудной, локализованные вокруг частот структур |
Линейные и квазипериодические элементы (станции ж/д) |
Линии с высокой амплитудой, проходящая через нулевую частоту и ориентированная перпендикулярно пространственным структурам. |
Нелинейные и апериодические элементы |
Облако с высокой амплитудой, локализованное в области низких частот |
Фильтры нулевого уровня
Ограничением локальных градиентных фильтров является то, что для расчёта значения каждого фильтра используется информация лишь его окрестностей. Этот способ не позволяет в явном виде выделить крупномасштабные границы, в результате их приходится воссоздавать из отдельных граничных фильтров, полученных с помощью градиентных методов. В результате выходим на 2 более продвинутых фильтра:
фильтр пирамид Гаусса, который является результатом последовательного применения фильтров низких частот с различными полосами пропускания
Пирамида Лапласа – результат последовательного применения полосовых фильтров, действующих в различны областях пространственного спектра.
LoG – лапласиан гауссовой функции.
Предположим, что нам дана 1-мерная функция. И надо найти положение точек, в которых эта функция претерпевает наиболее значимые изменения. Из рис. видно, что в таких точках 2-ая производная функции обращается в 0. Предположим, что выполняется свёртка исходной функции с фильтром Гаусса шириной пикселей с последующим вычислением 2-ой производной. Как видно из графика точки нулевых значений 2-ой производной, которая соответствует наиболее значительным изменениям функции, находится там же, где и раньше. А те, которые соответствовали наиболее слабым изменениям, просто исчезли. Распределение Гаусса с нулевым средним значением и стандартным отклонением σ имеет вид:
Рассмотрим фильтры свёртки f и g.
Т.е. свёртки 2-ой производной функции f с гауссовой функцией g = свёртке 2-ой функции с производной гауссовой функции. Отсюда следует, что можно сразу создать фильтр LoG, определяемый
