Дискретное преобразование Фурье для 2-мерного случая
2-мерный ряд Фурье определяется:
По формуле (1) – обратное дискретное преобразование Фурье, где j – мнимая единица, Fkl – комплексная амплитуда компоненты kl.
Формула (2) определяет fmn как суперпозицию Nx Ny gj по синусоидальному и косинусоидальному слагаемому.
Обратное дискретное преобразование Фурье:
В силу периодичности компонента при 2-мерном преобразовании Фурье неявно предполагается, что изображение повторяется во всех направлениях. Результатом преобразования тоже будет периодическая функция. Именно это свойство приводит к эффекту циклического перехода при использовании преобразования Фурье для реализации пространственной свёртки.
Массив компонентов, полученный по формуле, часто реорганизуется в соответствии с естественным порядком (который часто применяется в оптике). В качестве относительных единиц измерения пространственной частоты используется пиксель-1. И при этом интервалы пространственных частот будут задаваться:
и координаты:
При использовании абсолютных единиц интервалы пространственных частот надо разделить на фактический размер пикселей Δх и Δу.
Форма представления Фурье образа
Фурье образ можно разложить на 2 компоненты: действительную и мнимую.
Как и любое комплексное число, результат преобразования можно представить в экспоненциальной форме через амплитуду и фазу:
Фазовая компонента содержит важную информацию о пространственной структуре изображения. Это можно продемонстрировать, установив постоянное значение амплитуды и выполнив преобразование Фурье для модифицированного спектра.
В результате увидим, что фазовая составляющая несёт информацию о взаимном расположении объектов на изображении.
И наоборот, если фазовая постоянная будет 0, но сохранится исходная амплитуда, то результат обратного преобразования будет что попало.
Фильтрация с помощью преобразования Фурье
Если мы применим преобразование Фурье к свёртке, то получим:
где F и G, F - спектр пространственных частот входного и выходного изображения; W – Фурье-фильтр; Функции G, F, Y – комплексные функции
Из этой формулы можно вывести, что преобразование Фурье свёртки и фильтра = произведению фурье-образов. Можно сначала выполнить преобразования Фурье отдельно для исходного изображения и весовой функции и потом перемножить их спектры и выполнить обратное преобразование, в результате получим результирующее изображение в пространственной области.
Поскольку окно фильтров обычно намного меньше изображения, то как условие, окно должно быть растянуто как изображение, чтобы обеспечить одинаковое положение компонент F и W. Такое расширение осуществляется с помощью окружения окна фильтра нулями.
Если нам понадобится применить Фурье-фильтр много раз, то мы сможем рассчитать его один раз и использовать его непосредственно на этапе вычисления соответствующего произведения.
Эти равенства описывают влияние фильтра W на модуль и фазу пространственного спектра исходного цифрового изображения F. При размере окна фильтрации менее, чем 7х7 пикселей, рекомендуется использовать алгоритм свёрки в пространственной области. А при больших размерах окна использовать алгоритмы фильтрации, основанные на преобразовании Фурье, т.к. фильтра Фурье очень ресурсозатратные.