
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос Основные структуры данных
- •Линейные структуры (списки данных, векторы данных)
- •Табличные структуры (таблицы данных, матрицы данных)
- •Иерархические структуры данных
- •Упорядочение структур данных
- •Файлы и файловая структура
- •3 Вопрос
- •Классическая архитектура
- •4 Вопрос характеристика программного обеспечения пк. Прикладные пакеты и программы. Инструментальные системы операционные системы
- •Функции [править]
- •Понятие [править]
- •Ядро [править]
- •Эволюция и основные идеи [править]
- •Пакетный режим [править]
- •Разделение времени и многозадачность [править]
- •Разделение полномочий [править]
- •Реальный масштаб времени [править]
- •Файловые системы и структуры [править]
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос . Алфавит, Типы данных, Переменные и Константы
- •Синтаксис и семантика
- •Алфавит языка
- •Элементарные конструкции
- •Простые типы данных
- •Понятие типа данных в Турбо Паскаль
- •Переменные и константы
- •7 Вопрос Структура программы на языке Паскаль
- •Заголовок программы
- •Раздел меток (label)
- •Раздел констант (const)
- •Раздел типов (type)
- •Раздел переменных (var)
- •Раздел процедур и функций
- •Раздел действий (операторов)
- •8 Вопрос алгоритмический язык паскаль. Арифметические выражения. Функции. Оператор присвоения Возникновение и назначение Паскаля
- •Структура программы на Паскале
- •Операторы ввода, вывода, присваивания
- •Правила записи арифметических выражений
- •Пунктуация Паскаля
- •9 Вопрос Операторы ввода и вывода
- •Ввод данных
- •Вывод данных
- •10 Вопрос Составной оператор Условные операторы Pascal-Паскаль
- •Условные операторы Pascal-Паскаль
- •Оператор выбора Паскаля
- •11 Вопрос операторы цикла. Цикл с предусловием. Цикл с постусловием. Цикл с параметром. Циклический алгоритм
- •Цикл с предусловием / пока
- •Цикл с постусловием - до
- •Цикл с параметром
- •Цикл - пока цикл с параметром
- •Операторы цикла
- •12 Вопрос алгоритм табулирование функции
- •11.1. Алгоритм табулирования
- •13 Вопрос алгоритм вычисления конечный суммы рекуррентная формула
- •Некоторые рекуррентные формулы
- •14 Вопрос массивы. Синтаксис и применение Массивы
- •Синтаксис Определение при помощи array()
- •15 Вопрос Одномерные массивы. Описание, ввод, вывод и обработка массивов на Паскале
- •16 Вопрос алгоритм вычисления суммы элементов одномерного массива
- •17 Вопрос алгоритм вычисления максимального элемента одномерного массива
- •18 Вопрос алгоритм упорядочивания элементов одномерного массива
- •19 Вопрос алгоритм вычисления суммы элементов двумерного массива
- •20 Вопрос алгоритм нахождение максимального элемента двумерного массива
- •21 Вопрос работа с файлами ввод вывод данных паскаль Ввод-вывод данных
- •Вывод данных на экран. Форматированный вывод
- •22 Вопрос функции. Параметры. Локальные глобальные описание
- •23. Процедуры и функции . Параметры-значения и параметры-переменные
- •24 Вопрос модули.Структура модулей Структура модуля
- •25 Вопрос численное решение уравнений. Метод половинного деления
- •26 Вопрос численное решение нелинейных скалярных уравнений. Метод хорд.
- •27 Вопрос численное решение алгебраических уравнений. Метод ньютона
- •28 Вопрос численное решение систем линейных алгебраических уравнений метод простой итерации
- •29 Вопрос численное решение системы линейных алгебраических уравнений метод Зейделя Метод Зейделя для решения слау
- •30 Вопрос численное решение системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Метод прогонки Метод прогонки
- •31 Вопрос численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений метод простой итерации Системы нелинейных уравнений
- •32 Вопрос численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений метод ньютона
- •33 Вопрос
- •Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной
- •34 Вопрос интерполяция функции многочлен лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •35 Вопрос аппроксимация эмпирических данных. Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов (мнк).
- •Суть метода наименьших квадратов (мнк).
- •Вывод формул для нахождения коэффициентов.
- •Оценка погрешности метода наименьших квадратов.
- •Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов (мнк).
- •36 Вопрос
- •37 Вопрос интерполяционный кубический сплайн определение Формулировка. Задачи Кубический интерполяционный сплайн
- •38 Вопрос численное интегрирование метод прямоугольников метод Рунге оценки точности численого определения интеграла Метод прямоугольников.
- •Суть метода прямоугольников.
- •Применение правила Рунге Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •39 Вопрос численное интегрирование метод трапеций метод Рунге оценки точности численого определения интеграла
- •Применение правила Рунге Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •40 Вопрос численное интегрирование метод Симпсона оценки точности численого определения интеграла
- •41 Вопрос
30 Вопрос численное решение системы линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Метод прогонки Метод прогонки
Метод
прогонки для решения систем линейных
алгебраических уравнений(СЛАУ).
Часто
при решении задач математической
физики(например краевая задача для
обыкновенных дифференциальных уравнений
2-го порядка) встречаются матрицы, в
которых большинство элементов равно
нулю. Причем структура матрицы не
хаотична, а вполне определена, а именно
- матрица трехдиагональна, ненулевые
элементы расположены на главной диагонали
и двух прилегающих к ней.
Метод
прогонки является частным случаем
метода Гаусса, и также состоит из прямого
и обратного хода. Для решения системы,
матрицу сначала нужно привести к
двухдиагональной:
Поделив
первую строку матрицы, приведенной
выше, на -b1 очевидно,
что:
и
можно вывести формулу для прямого
хода:
Затем
необходимо выполнить обратный ход -
найти вектор X, из последней строки
преобразованной матрицы следует, что
xn=
Qn.
В
тоже время остальные элементы вектора
считаются по формуле:
Следует
заметить, что метод устойчив если(следует
из диагонального преобладания матрицы
А):
и
корректен, если(иначе формулы прямого
хода не имеют смысла):
31 Вопрос численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений метод простой итерации Системы нелинейных уравнений
При решении задач моделирования поведения химических систем достаточно часто приходится решать системы уравнений, нелинейных по отношению к переменным. Системы nлинейных уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn в общем случае принято записывать следующим образом:
где F1, F2,…, Fn – любые функции независимых переменных, в том числе и нелинейные относительно неизвестных.
Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор (или векторы) (X*), который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.
Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное количество решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.
Рассмотрим несколько простейших итерационных методов решения систем нелинейных уравнений, а именно, метод простой итерации, метод Зейделя и метод Ньютона.
Метод простой итерации
Для реализации этого метода решаемую систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований привести к следующему виду, выразив из каждого уравнения по одной переменной следующим образом:
Выбирая затем вектор начального приближения
,
подставляют его в преобразованную систему уравнений. Из первого уравнения получают новое приближение к первой переменной, из второго – второй и т. д. Полученное уточненное значение переменных снова подставляют в эти уравнения и т.д.Таким образом, на (i+1)-м шаге итерационной процедуры имеем
32 Вопрос численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений метод ньютона
Метод Ньютона-Рафсона
Математической основой метода является линеаризация функций F1, F2, Fn (левых частей уравнений, образующих систему) путем разложения в ряд Тейлора в окрестности точки начального приближения к решению и пренебрежением всеми членами ряда кроме линейных относительно приращений переменных.
Рассмотрим метод на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Линеаризуем функции F1, F2 путем разложения в ряд Тейлора вблизи некоторой точки (начального приближения) и пренебрежения всеми членами ряда кроме линейных относительно приращений переменных.
Вспомним, что для функции одной переменной разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки x0 имеет следующий вид:
после пренебрежения всеми членами, кроме линейного:
Для функции нескольких переменных разложение проводится аналогично.
Выберем для поиска решения системы уравнений некоторое начальное приближение
Запишем для функции F1 2-х переменных линейную часть разложения в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки
для второго уравнения, аналогично
Если значения переменных x1 и x2 являются решением, то оба уравнения системы должны обратиться в ноль, поэтому полученные разложения приравниваем нулю.
Для краткости записи введем следующие обозначения:
- приращение i-ой переменной
- значение первой частной производной функции Fj по переменной xi при значении переменных
– значение j-ой функции при соответствующих значениях переменных, то есть невязка j‑го уравнения.
Получим систему линейных уравнений 2 x 2 относительно приращения переменных
Или, в матричной форме,
где матрица значений частных производных называется матрицей Якоби (или якобианом). Решение этой системы дает вектор поправок к начальному приближению.
Сложение его с вектором начального приближения дает новые значения переменных.
Итерационная процедура далее продолжается аналогично.
Таким образом, процедура решения выглядит следующим образом:
1. Выбирается начальное приближение, система приводится к нормальному виду, в аналитическом виде находятся частные производные правых частей уравнений системы по всем переменным.
2. Рассчитывается матрица Якоби значений частных производных в точке начального приближения
3. Решается система линейных уравнений относительно приращений переменных.
4. к вектору начального приближения прибавляется вектор приращений
5. проверяется условие сходимости и, если оно не достигнуто, то процедура повторяется с п. 2.
Метод легко обобщается на систему уравнений любой размерности.
Для
функции F1 n переменных
линейная часть разложения в ряд Тейлора
в окрестности точки
записывается
так
После разложения всех уравнений системы и используя введенные ранее обозначения, после преобразования получим систему линейных уравнений порядка n относительно приращения переменных Δxi
Или, в матричной форме,
В сокращенном виде можно записать так - (F')(Δx) = -(F) , где матрица значений частных производных – (F') – называется матрицей Якоби или якобианом системы уравнений.
Решение этой системы дает вектор поправок к начальному приближению. Сложение его с вектором начального приближения дает новые, уточненные значения переменных.
Частные производные, необходимые для расчета матрицы Якоби, можно рассчитать аналитически или же, если это невозможно или затруднительно, получать по формулам приближенного дифференцирования, например, как отношение приращения функции к приращению аргумента
,
где эпсилон – достаточно малое число.