Билет №6. Формулы Муавра-Лапласа для схемы Бернулли.

Теорема Муавра-Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из n  независимых испытаний равна одной и той же постоянной р=const (0<р<1), то вероятность   того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно вычисляется формулой:

,

где:   ,  - кривая Гаусса.

Таблицы значений функции   даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность появления события А в каждом из n (n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0<р<1), то вероятность   того, что во всех этих испытаниях событиеА появится не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно вычисляется формулой:

,

где  - функция Лапласа,

, 

Значения аргументов функции Лапласа для х Î[0,5] даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей, для x>5 F(x)=1/2.Функция нечетная - F(x)= F(-x).

Билет№7. Дискретная случайная величина. Функция распределения. Независимость случайных величин.

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ < X). Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины.

Независимость случайных величин – одно из базовых понятий теории вероятностей, лежащее в основе практических всех вероятностно-статистических методов принятия решений.

Случайные величины Х и У, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, называются независимыми, если для любых чисел а и b независимы события {X=a} и {Y=b}. Если случайные величины Х и У независимы, а и b – некоторые числа, то случайные величиныX+a и Y+b также независимы. Действительно, события {X+a=с} и {Y+b=d} совпадают с событиями {X=с-a} и {Y=d-b} соответственно, а потому независимы.

Билет №8. Математическое ожидание. Дисперсия случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины.

Математическое ожидание (МО) характеризует среднее взвешенное значение случайной величины. Для вычисления математического ожидания для ДСВ каждое значение xi учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

M[X]-оператор математического ожидания;

mx -- число, полученное после вычислений по формуле.

Для НСВ заменим отдельные значения   непрерывно изменяющимся параметром  , соответствующие вероятности  - элементом вероятности  , а конечную сумму – интегралом: 

Механическая интерпретация понятия математического ожидания: на оси абсцисс расположены точки с абсциссами  , в которых сосредоточены соответственно массы р1, р2,...., причем  . Тогда МО – абсцисса центра тяжести. Для НСВ – масса распределена непрерывно с плотностью  . Для смешанных случайных величин математическое ожидание состоит из двух слагаемых.

,

где сумма распространяется на все значения xi, имеющие отличные от нуля вероятности, а интеграл – на все участки оси абсцисс, где функция распределения F(x) непрерывна. Физический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:

M[c] = c.

Доказательствово: представим величину с как случайную величину, которая принимает одно и то же значение, свероятностью р=1:

M[c]=c∙1=c.

2. При умножении СВ Х на неслучайную величину с не ту же самую величину увеличится ее математическое ожидание:

M[c×X] = c×M[X].

Доказательство:

3. При прибавлении к СВ Х неслучайной величины с к ее математическому ожиданию прибавляется такая же величина:

Доказательство: следует из свойств 1 и 3.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M[X+Y] = M[X]+M[Y].

Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.

Расчетные формулы:

Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеивания пользуются величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика

.

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.