20. Размерность, формула размерности

Размерность физической величины — выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц. Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин.

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными.

Для указания размерностей производных величин используют символ dim.

Например, для скорости при равномерном движении выполняется

где   — длина пути, пройденного телом за время  . Для того, чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:

Аналогично для размерности ускорения получается

Из уравнения второго закона Ньютона с учётом размерности ускорения для размерности силы следует:

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные (положительные или отрицательные, целые или дробные) степени. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю — безразмерной.

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин. Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT. На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС, МКС и МТС.

21. Определения основных единиц системы СИ

Основные единицы СИ
Единица	Обозначение	Величина	Определение	Исторические происхождения / Обоснование
Метр	м	Длина	Метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458секунды. XVII Генеральная конференция по мерам и весам (ГКМВ) (1983 г, Резолюция 1)	1⁄10 000 000 расстояния от экватора Земли до северного полюса на меридиане Парижа.
Килограмм	кг	Масса	Килограмм есть единица массы, равная массе международного прототипа килограмма. I ГКМВ (1899 г.) и III ГКМВ (1901 г.)	Масса одного кубического дециметра (литра) чистой воды при температуре 4 °C и стандартном атмосферном давлении на уровне моря.
Секунда	с	Время	Секунда есть время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. XIII ГКМВ (1967 г., Резолюция 1) «В покое при 0 К при отсутствии возмущения внешними полями» (Добавлено в 1997 году)	День делится на 24 часа, каждый час делится на 60 минут, каждая минута делится на 60 секунд. Секунда это — 1⁄(24 × 60 × 60) часть Дня
Ампер	А	Сила электрического тока	Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10−7ньютонов. Международный комитет мер и весов (1946 г., Резолюция 2, одобренная IX ГКМВ в 1948 г.)
Кельвин	К	Термодинамическая Температура	Кельвин есть единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 частитермодинамической температуры тройной точки воды. XIII ГКМВ (1967 г., Резолюция 4) В 2005 г. Международный комитет мер и весов установил требования к изотопному составу воды при реализации температуры тройной точки воды: 0,00015576 моля 2H на один моль1Н, 0,0003799 моля 17О на один моль 16О и 0,0020052 моля 18О на один моль 16О[1].	Шкала Кельвина использует тот же шаг, что и шкала Цельсия, но 0 кельвинов это температура абсолютного нуля, а не температура плавления льда. Согласно современному определению ноль шкалы Цельсия установлен таким образом, что температура тройной точки воды равна 0,01 °C. В итоге, шкалы Цельсия и Кельвина сдвинуты на 273,15[2]: °C =K — 273,15.
Моль	моль	Количество вещества	Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть специфицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц. XIV ГКМВ (1971 г., Резолюция 3)
Кандела	кд	Сила света	Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·1012 герц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет (1/683) Вт/ср. XVI ГКМВ (1979 г., Резолюция 3)

22. Определения дополнительных единиц системы СИ

Международная система единиц включает в себя две дополнительные единицы - для измерения плоского и телесного углов.

Единица плоского угла - радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу. В градусном исчислении радиан равен 57°17'48".

Стерадиан (ср), принимаемый за единицу телесного угла, - телесный угол, вершина которого расположена в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь, равную площа-ди квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы.

Измеряют телесные углы путем определения плоских углов и проведения дополнительных расчетов по формуле

где Q - телесный угол;   - плоский угол при вершине конуса, образованного внутри сферы данным телесным углом.

Телесному углу 1 ср соответствует плоский угол, равный 65°32', углу   ср - плоский угол 120°, углу   ср - плоский угол 180°.

Дополнительные единицы СИ использованы для образования единиц угловой скорости, углового ускорения и некоторых других величин. Сами по себе радиан и стерадиан применяются в основном для теоретических построений и расчетов, так как большинство важных для практи-ки значений углов (полный угол, прямой угол и т.д.) в радианах выражаются трансцендентными числами (  ,   и т.д.).

Производные единицы с собственными названиями 

Производные единицы могут быть выражены через основные с помощью математических операций: умножения и деления. Некоторым из производных единиц, для удобства, присвоены собственные названия, такие единицы тоже можно использовать в математических выражениях для образования других производных единиц.

Производные единицы с собственными названиями
Величина	Единица измерения			Обозначение			Выражение
	русское название	международное название	русское		международное
Плоский угол	радиан	radian	рад		rad	м·м−1 = 1
Телесный угол	стерадиан	steradian	ср		sr	м2·м−2 = 1
Температура по шкале Цельсия¹	градус Цельсия	degree Celsius	°C		°C	K
Частота	герц	hertz	Гц		Hz	с−1
Сила	ньютон	newton	Н		N	кг·м·c−2
Энергия	джоуль	joule	Дж		J	Н·м = кг·м2·c−2
Мощность	ватт	watt	Вт		W	Дж/с = кг·м2·c−3
Давление	паскаль	pascal	Па		Pa	Н/м2 = кг·м−1·с−2
Световой поток	люмен	lumen	лм		lm	кд·ср
Освещённость	люкс	lux	лк		lx	лм/м² = кд·ср/м²
Электрический заряд	кулон	coulomb	Кл		C	А·с
Разность потенциалов	вольт	volt	В		V	Дж/Кл = кг·м2·с−3·А−1
Сопротивление	ом	ohm	Ом		Ω	В/А = кг·м2·с−3·А−2
Электроёмкость	фарад	farad	Ф		F	Кл/В = с4·А2·кг−1·м−2
Магнитный поток	вебер	weber	Вб		Wb	кг·м2·с−2·А−1
Магнитная индукция	тесла	tesla	Тл		T	Вб/м2 = кг·с−2·А−1
Индуктивность	генри	henry	Гн		H	кг·м2·с−2·А−2
Электрическая проводимость	сименс	siemens	См		S	Ом−1 = с3·А2·кг−1·м−2
Активность (радиоактивного источника)	беккерель	becquerel	Бк		Bq	с−1
Поглощённая доза ионизирующего излучения	грэй	gray	Гр		Gy	Дж/кг = м²/c²
Эффективная доза ионизирующего излучения	зиверт	sievert	Зв		Sv	Дж/кг = м²/c²
Активность катализатора	катал	katal	кат		kat	моль/с

Существуют другие внесистемные единицы, такие как литр, которые не являются единицами СИ, но принимаются для использования вместе с СИ.

23. Кратные и дольные единицы. Приставки для образования кратных и дольных единиц.

Кратные					Дольные
величина	название	обозначение			величина		название		обозначение
101 м	декаметр	дам	dam	10−1 м		дециметр		дм		dm
102 м	гектометр	гм	hm	10−2 м		сантиметр		см		cm
103 м	километр	км	km	10−3 м		миллиметр		мм		mm
106 м	мегаметр	Мм	Mm	10−6 м		микрометр		мкм		µm
109 м	гигаметр	Гм	Gm	10−9 м		нанометр		нм		nm
1012 м	тераметр	Тм	Tm	10−12 м		пикометр		пм		pm
1015 м	петаметр	Пм	Pm	10−15 м		фемтометр		фм		fm
1018 м	эксаметр	Эм	Em	10−18 м		аттометр		ам		am
1021 м	зеттаметр	Зм	Zm	10−21 м		зептометр		зм		zm
1024 м	иоттаметр	Им	Ym	10−24 м		иоктометр		им		ym

Следует учитывать, что при образовании кратных и дольных единиц площади и объема с помощью приставок может возникнуть двойственность прочте-ния в зависимоти от того, куда добавляется приставка. Так, сокращенное обозначение 1 км² можно трактовать и как 1 квадратный километр и как 1000 квадратных метров, что, очевидно, не одно и то же (1 квадратный километр = 1.000.000 квадратных метров). В соответствии с международными правилами кратные и дольные единицы площади и объема следует образовывать, присоединяя приставки к исходным единицам. Таким образом, степени относятся к тем единицам, которые получены в результате присоединения приставок.  Поэтому 1 км² = 1 (км)² = (10³ м) ² = 10⁶ м²

24.Системы сгс и их основные единицы.

СГС (сантиметр-грамм-секунда) — система единиц измерения, которая широко использовалась до принятия Международной системы единиц (СИ). Другое название — абсолютная^[1] физическая система единиц.

В рамках СГС существуют три независимые размерности (длина, масса и время), все остальные сводятся к ним путём умножения, деления и возведения в степень (возможно, дробную). Кроме трёх основных единиц измерения —сантиметра, грамма и секунды, в СГС существует ряд дополнительных единиц измерения, которые являются производными от основных. Некоторые физические константы получаются безразмерными. Есть несколько вариантов СГС, отличающихся выбором электрических и магнитных единиц измерения и величиной констант в различных законах электромагнетизма (СГСЭ, СГСМ, Гауссова система единиц).

СГС отличается от СИ не только выбором конкретных единиц измерения. Из-за того, что в СИ были дополнительно введены основные единицы для электромагнитных физических величин, которых не было в СГС, некоторые единицы имеют другие размерности. Из-за этого некоторые физические законы в этих системах записываются по-разному (например, закон Кулона). Отличие заключается в коэффициентах, большинство из которых — размерные. Поэтому, если в формулы, записанные в СГС, просто подставить единицы измерения СИ, то будут получены неправильные результаты. Это же относится и к разным разновидностям СГС — в СГСЭ, СГСМ и Гауссовой системе единиц одни и те же формулы могут записываться по-разному.

В формулах СГС отсутствуют нефизические коэффициенты, необходимые в СИ (например, электрическая постоянная в законе Кулона), и, в Гауссовой разновидности, все четыре вектора электрических и магнитных полей E, D, B и H имеют одинаковые размерности, в соответствии с их физическим смыслом^[2], поэтому СГС считается более удобной для теоретических исследований.

СГСЭ 

В СГСЭ электрическая постоянная ε₀ (диэлектрическая проницаемость вакуума) безразмерна и равна 1, магнитная постоянная µ₀ = 1/с² (размерность: с²/см²), где c — скорость света в вакууме, фундаментальная физическая постоянная. В этой системе закон Кулона в вакууме записывается без дополнительных коэффициентов: F = Q₁Q₂/r², в результате единица заряда должна быть выбрана как квадратный корень из единицы силы (дина^1/2), умноженный на единицу расстояния (сантиметр). Из выбранной таким образом единицы заряда (называемой статкулоном, размерность: см^3/2г^1/2с⁻¹) выводятся определения производных единиц (напряжения, силы тока, сопротивления и т. п.).

СГСМ 

В СГСМ магнитная постоянная µ₀ безразмерна и равна 1, а электрическая постоянная ε₀ = 1/с² (размерность: с²/см²). В этой системе нефизические коэффициенты отсутствуют в формуле закона Ампера для силы, действующей на единицу длины l каждого из двух бесконечно длинных параллельных прямолинейных токов в вакууме: F = 2I₁I₂l/d, где d — расстояние между токами. В результате единица силы тока должна быть выбрана как квадратный корень из единицы силы (дина^1/2). Из выбранной таким образом единицы силы тока (иногда называемой абампером, размерность: см^1/2г^1/2с⁻¹) выводятся определения производных единиц (заряда, напряжения, сопротивления и т. п.).