Называют уравнением или законом движения точки.

 

 

 Дуговую координату в задачах кинематики желательно не путать с пройденным точкой путем,  который во всех школьных задачах, как правило, обозначался таким же символом s .

Дуговая координата  может  быть положительной и отрицательной, может увеличиваться и уменьшаться. Пройденный путь может только увеличиваться  и  не  может быть отрицательной величиной.

       При этом способе  задания движения для определения характеристик движения точки вводится особая система  взаимно перпендикулярных осей, движущихся вместе с точкой и меняющих свое положение в пространстве. Оси принято называть естественными осями координат. Совокупность взаимно-перпендикулярных плоскостей, определяемых этими осями, называют подвижным трехгранником.

         Одна  из осей всегда направляется по касательной к траектории движущейся точки;  другая ось - к центру  кривизны  траектории точки    ( эту ось называют  нормалью) ; третью ось  -  бинормаль направляют так же, как ось  z  направлена по отношению к осям  x  и  y.       

  Касательная, нормаль и бинормаль определяют  положение  плоскостей подвижного трехгранника.  Нормальная плоскость перпендикулярна касательной к траектории точки и проходит через центр кривизны траектории;   соприкасающаяся плоскость  проходит  через касательную к траектории точки и центр кривизны траектории. Третья плоскость называется спрямляющей. 

         О том, что задается при естественном способе задания движения точки, напоминает плакат 4к.

         Выведем теперь  формулы  для  определения векторов скорости и ускорения точки при рассматриваемом способе задания  ее  движения.

    

          Частными случаями  движения точки по кривой являются  равномерное и  равнопеременное  движение. Эти виды движения изучаются еще в  школе.   Уравнения равномерного и равнопеременного движений  и  все необходимые  для решения задач на равнопеременное движение формулы приведены в теме “Вращательное движение твердого тела”, где подчеркивается  аналогия  между рассматриваемыми уравнениями и уравнениями равномерного и равнопеременного вращения тела. Для решения задач формулы,  которые необходимо помнить,  приведены  на плакате 6к.

     В общем случае движение точки может быть либо просто ускоренным, либо просто замедленным. Последнее определяется при сопоставлении знаков производных ds/dt  и  dV/dt.   Если знаки производных одинаковы, то движение ускоренное;  при разных знаках - замедленное.

 

     В заключение темы  “Способы задания движения точки” рассмотрим переход от координатного способа задания движения к естественному.

 

8.6.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

Пусть дана траектория и закон движения по ней (рис. 46  )

Это закон (8.2.1), S = f(t). Если за время   точка переходит из положения М в положение  , и криволинейная координата получает приращение  , то численную величину средней скорости определяют как

Переходя к пределу, получаем

Численная величина скорости уточки в данный момент времени равна первой производной от координаты S по времени. Вектор скорости   направлен по касательной к траектории. Численная величина скорости v отличается от модуля скорости только знаком.

Численная величина одновременно определяет и модуль вектора скорости и сторону, куда он направлен.

Для определения ускорения при естественном способе задания движения, оси координат выберем следующим образом: ось   - вдоль касательной к траектории, в сторону (+) направления отсчета расстояния S (рис. 47  ).

- ось Мn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости;

- ось Mb - перпендикулярно первым двум, так чтобы была правая тройка координатных векторов.

Нормаль Мn называется главной нормалью, а Мb - бинормалью.

Так как   лежит в соприкасающейся плоскости (см. 9.4), то есть в плоскости  , то его проекция на бинормаль равна нулю ( ).

Вычислим его проекции на две другие оси:

Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость  , а в момент   - в положении   со скоростью  . Тогда за промежуток   она приобретет ускорение

Перейдем от векторов к их проекциям на оси   и Мn, тогда

Проведем через точку   оси  , параллельные основным осям   и Мn. Обозначим угол между y, и осью   через  .

Этот угол между касательными к кривой в точках М и   назовем углом смежности, так как

где  , согласно рисунку 47.

Соотношение (8.6.6) определяет кривизну k кривой в точке М и определяется величиной, обратной радиусу кривизны  . Учитывая (8.6.4), (8.6.5) и (8.6.6) запишем:

При   стремящемся к нулю точка   будет находиться (стремиться) все ближе к точке М и  ,  , будут так же стремиться к нулю, a  , получаем для тангенциальной составляющей ускорения

Для получения нормальной составляющей умножим и разделим второе соотношение (8.6.8) на  :

Результат   получается в силу того, что

Окончательно получаем:

Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния S по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю.

Вектор ускорения точки   всегда является диагональю параллелограмма, построенного на составляющих   (рис. 48  ).

Если касательная и нормальная составляющие полного ускорения записываются как (8.6.12), то

где   - угол между вектором полного ускорения и нормалью к кривой в точке вычисления ускорения

7. Смысл такого представления ускорения (2.14) в том, что тангенциально (касательное)е ускорение а_t определяет изменение вектора скорости только по величине, а нормальная составляющая а_n связана с изменением вектора скорости только по направлению

Значение полного ускорения определяется как 

,