46. Ожидаемая доходность и ожидаемый риск портфеля ценных бумаг.

Портфель – это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор.

В портфель могут входить как инструменты одного вида( акции или облигации), так и разные активы: ценные бумаги, срочные контракты и недвижимость. Цель формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого риска. Она достигается:

• за счет диверсификации портфеля по составу инструментов, т.е. распределения средств инвестора между различными активами, и,

• тщательного подбора финансовых инструментов.

Главными параметрами при управлении портфелем, которые необходимо определить менеджеру, является его ожидаемая доходность и риск. Рассмотрим, каким образом рассчитываются отмеченные параметры.

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него бумаг, а именно:

где - ожидаемая дох (ex ante return) портфеля за опр период; - ожид дох 1, 2 и n-й бумаги; = ср ариф дох бумаги за предыд периоды; удельный вес в портфеле1, 2 и n-й бумаги; = отношению её стоимости к стоимости всего портфеля: где θ_i – уд вес i-й бумаги; P_i – ст-ть i-ой бумаги; P_P – ст-ть портфеля.Сумма всех уд весов вход в портфель = 1.

Ожидаемый риск портфеля. Все участники фондового рынка действуют в условиях неполной определенности. Соответственно, исход практически любых операций купли-продажи ценных бумаг не может быть точно предсказан, то есть сделки подвержены риску. В общем случае под риском подразумевают вероятность наступления какого-либо события. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени (тк различные активы могут по-разному реагировать на изм на рынке). Для определения степени взаимосвязи и направления изменения доходностей двух активов используют такие показатели как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация говорит о степени зависимости двух случайных величин.

В результате от ковариации переходят к коэффициенту корреляции. Он определяется по формуле:

где σx, σ_y – стандартное отклонение переменной Х,Y

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости переменных( y=a+bx,y=a-bx). Тенденция к линейной зависимости двух переменных может иметь более или менее выраженный характер. Поэтому значения коэффициента изменяются в диапазоне от (-1), до (+1).

Сov>0 (corr=1)- при изменении значения одной переменной другая изменятся в том же направлении. Cov<0(corr =-1) - в противоположных направлениях. Чем больше значение ковариации по абсолютной величине, тем сильнее зависимость. Cov=0( corr=0)никакой зависимости.

Общие выводы:

1. если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, достигается только усреднение, а не уменьшение риска;

2. если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше, чем +1, его риск уменьшается; чем меньше корреляция доходностей активов, тем меньше риск портфеля;

3. если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;

4. при формировании портфеля необходимо стремиться объединить его в него портфели с наименьшей корреляцией.

Основоположником современной теории портфеля является Г. Марковиц (США, нобелевский лауреат по экономике 1990). Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля-чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше его степень диверсификации(для обычной конъюнктуры рынка, не в крах).

Вариация(Дисперсия), как мера риска δ² = ∑ (r_{xдоходность акции} –r_{средняя доходность акции})² / n – 1.

Таким образом, стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Риск портфеля (измеряемый вариацией/дисперсией), состоящий из двух активов, рассчитывается по формуле:

Риск портфеля, измеренный стандартным отклонением доходности (σ_Р), определяется по формуле:

Рассмотрим, как определяется риск портфеля, состоящего из нескольких бумаг. Он рассчитывается по формуле:

где σ²_Р – риск портфеля; θ_i – уд вес . означает, что, раскрывая её, мы должны вначале взять значение i=1 и умножить на него все значения j от 1 до n. Затем повторить данную операцию, но уже для i=2, и т.д. В итоге получим n² слагаемых.

Дополнение

Пример1. Доходность бумаги Х за пять лет составляла соответственно: 20%, 25%, 22%, 28%, 24%. Доходность бумаги Y: 24%, 28%, 25%, 27%, 23%. Определить ковариацию, корреляцию доходностей бумаг:

РЕШЕНИЕ. Определяем среднюю доходность бумаг:

Затем находим отклонения доходностей бумаг для каждого периода, перемножаем их и суммируем:

(20 – 23,8)(24 – 25,4) + (25 – 23,8)(28 – 25,4) + (22 – 23,8)(25 – 25,4) +

+ (28 – 23,8) (27 – 25,4) + (24 – 23,8)(23 – 25,4) = 15,4

Для соrr:

Коэффициент корреляции равен:

Пример2. Определить риск портфеля, состоящего из бумаг Х и Y, если θ_Х = 0,3; θ_Y = 0,7; σ_x = 20%; σ_Y = 30%; cov_XY = 0,5.

Решение. Дисперсия портфеля составляет:

120=(20%+30%)/0.5<но непонятно почему так,тк в формуле просто соv подставить...(((

Риск портфеля равен:

Пример 3. Портфель состоит из трёх бумаг: А, В и С. Удельный вес бумаги А равен 0,2, бумаги В – 0,3, бумаги С – 0,5; σ_А = 30%; σ_В = 20%; σ_С = 10%; cov_АВ = 3,8; cov_АС = 2,5; cov_ВА = 3,8; cov_ВС = 5,5; cov_СА = 2,5; cov_СВ = 5,5.

Определить риск портфеля.

Решение.

Дисперсия портфеля равна:

σ²_Р = 0,2 · 0,2 · 30 · 30 + 0,2 · 0,3 · 3,8 + 0,2 · 0,5 · 2,5 + 0,3 · 0,2 · 3,8 + 0,3 · 0,3 · 20 · 20 + 0,3 · 0,5 · 5,5 + 0,5 · 0,2 · 2,5 + 0,5 · 0,3 · 5,5 + 0,5 · 0,5 · 10 · 10 = 99,606.

Стандартное отклонение портфеля составляет: