Энергия гармонических колебаний
При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:
(Скорость тела v = ds/dt)
Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:
где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.
Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:
|
для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы: |
1.
Полная механическая энергия тела не
изменяется при колебаниях: 
2.
Частота колебаний кинетической и
потенциальной энергии в 2 раза больше
частоты колебаний маятника.
3.
Колебания кинетической и потенциальной
энергии сдвинуты друг относительно
друга по фазе на (на
полпериода). Когда кинетическая энергия
достигает максимума, потенциальная -
минимума (нуля) и наоборот. Энергия при
колебаниях постоянно перекачивается
из потенциальной в кинетическую и
обратно.
В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.
Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:
1.
Полная энергия в контуре остается
неизменной: 
2. Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре. 3. Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.
Поскольку в контуре происходят колебания электрической и магнитной энергий, электрический колебательный контур также называют электромагнитным.
Математический, пружинный и физический маятник.
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника
Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (0t + ) с циклической частотой
(142.2)
и периодом
(142.3)
Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна
2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).
Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде
(142.4)
где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F= –mg sin –mg. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F и всегда противоположны; sin соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде
Принимая
(142.5)
получим уравнение
идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:
(142.6)
Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой 0 (см. (142.5)) и периодом
(142.7)
где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим
