4.3.10 Расчет удельной мощности подогревателя для подогрева топлива в заданном интервале температур

В данном разделе определим затраты тепловой энергии на подогрев единицы объема от температуры помутнения t₀ до температуры t_k (температура топлива на выходе из подогревателя).

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена с внутренним источником тепла в относительных параметрах имеет вид

.

(4.123)

Постоянство температуры топлива на входе в подогреватель (Х,0) описывается начальными условиями

.

(4.124)

Неизменность температуры топлива в центре любого сечения трубопровода описывается уравнением

.

(4.125)

Условие теплообмена на границе “жидкость—твердая стенка подогревателя” описывается уравнением теплопередачи

,

(4.126)

где — относительная длина подогревателя,

— относительный радиус подогревателя,

r — текущее значение радиуса,

— число Пекле,

J_П — средняя скорость движения топлива в подогревателе,

а — коэффициент температурапроводности топлива,

l — коэффициент теплоемкости топлива,

Nu — число Нуссельта.

Уравнения (4.123) -- (4.126) совместно образуют краевую задачу конвективного теплообмена топлива в трубопроводе с внутренним источником q_V тепла. Поставленную задачу решим методом преобразований Лапласа совместно с методом ортогональных проекций. Для практических инженерных расчетов задачу (4.123) -- (4.126) достаточно решить во втором приближении. В качестве базисных координат примем степенные функции относительно безразмерной переменной x

.

(4.127)

После преобразований Лапласа по координате Х краевая задача (4.123) -- (4.126) полей температур приводится к функциям изображения этих полей вида

.	(4.128)
.	(4.129)
.	(4.130)

Приближенное решение задачи (4.128), точно удовлетворяющее граничным условиям (4.129) и (4.130), находится в семействе функций

,

(4.131)

где F(S) — функция изображения температуры внешней среды,

a_k(S) — функция изображения температурного поля в сечении х, которая находится из системы линейных уравнений по общей схеме ортогонально-проекционным методом

.

(4.132)

Коэффициенты A_jk, B_jk, D_j — являются однозначными функциями безразмерной длины Х и радиуса x.

Решая систему (4.132) по формуле Крамара относительно a₁(S) и a₂(S) получим

.		(4.133)
,	(4.134)

где D(S) — определитель составленный из коэффициентов a_j(S) системы (4.132);

D_jk(S) — алгебраическое дополнение, составленное путем замены в определителе D(S) j-того столбца свободным членом d_j системы (4.132);

,(4.135) — слагаемое свободного члена D_j

системы (4.132) ;

, (4.136) — слагаемое свободного члена D_j системы (4.132).

Приняв, что температура окружающей среды и мощность внутреннего источника энергии величины постоянные, то и их изображения так же будут постоянными, т.е.

,	(4.137)
.	(4.138)

Из соотношения (4.133) с учетом (4.136) и (4.137) по теореме свертки [89] получим

,

(4.139)

Где

,	(4.140)
,	(4.141)
,	(4.142)
	(4.143)
	(4.144)

В выражениях (4.140)-(4.144) S_i — корни полинома D(S)=C₂S²+C₁S+C₀=0, составленного из коэффициентов системы (4.132); — численное значение производной полинома при S_i=-S_i; — численное значение алгебраического дополнения, составленного путем замены j-того столбца полинома D(S) слагаемым (4.135) свободного члена; — численное значение алгебраического дополнения, составленного путем замены j-того столбца полинома D(S) слагаемым (4.136 свободного члена; D(S)=SD(S) — полином степени n+1; — численное значение производной полинома D(S) при S_i=-S_i .

Относительная избыточная температура в сечении Х определяется из соотношения

,

(4.145)

где t(x,X) — температура топлива на выходе из подогревателя;

t_C — температура окружающей среды;

t₁=t_П — температура топлива на входе в подогреватель, принята равной температуре помутнения.

Из (5.43) определяем удельную мощность источника тепла

.

(4.146)

Выражение (4.146) позволяет определить удельную мощность источника тепла в зависимости от температуры окружающей среды, заданной температуры начала подогрева топлива и требуемой температуры на выходе из подогревателя.