4.3.3 Уравнение неразрывности потока жидкости

Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и определим массу жидкости, протекающей через него в направлении осей OX, OY, OZ (рис. 4.5).

В направлении оси OX в параллелепипед втекает масса жидкости за единицу времени равная

dm_X=rJ_X dydzdt. (4.66)

Из противоположной грани вытекает масса:

dm_X+dX=rJ_X+dX dydzdt, (4.67)

где J_X, J_X+dX — соответственно величина скорости на входе в грань abcd и на выходе из грани a₁b₁c₁d₁.

dm_(z+dz)

dm_Y

d

Z

d₁

c₁

d_Z

dm_(x+dX)

c

dm_X

X

О

d_Y

dm_(y+dy)

Y

b

b₁

a

a₁

dx

dm_Z

Рис. 4.5. Расчетная схема неразрывности потока жидкости

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, получим, что масса dm_X+dX, вытекающая из элементарного объема в направлении оси ОХ равны

.

(4.68)

Вычитая (4.66) из (4.67), получим излишек массы жидкости, вытекающий из элементарного объема в направлении оси ОХ

.

(4.69)

Аналогичным образом в направлении осей OY и OZ имеем

,	(4.70)
.	(4.71)

Суммируя (4.69) и (4.70) получим полный избыток массы жидкости, вытекающий из элементарного объема

.

(4.72)

Этот избыток обуславливается изменением плотности жидкости в объеме dV за время dt

(4.73)

При совместном решении (4.72) и (4.73) получим дифференциальное уравнение потока жидкости. Для несжимаемой жидкости r=const:

, или .

(4.74)

Таким образом, конвективный теплообмен в декартовой системе координат описывается системой уравнений (4.50), (4.65) и (4.74).

Применим эти уравнения для исследования потока жидкости в цилиндрической трубе.

4.3.4 Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена в цилиндрических координатах

Если с геометрической осью трубопровода совместить ось ОХ, а начало системы отсчета поместить в начало трубопровода (рис. 4.6), то температурное поле будет изменяться только с изменением координаты х, а температура в любой точке М трубопровода будет зависеть только от координат Y и Z, т.е. t=t(y,z,t).

Рис. 4.6. Расчетная схема движения топлива в трубопроводе низкого давления

При равномерном охлаждении трубопровода окружающим воздухом, температура в любой точке К, находящейся на расстоянии r от оси цилиндра, будет одинаковой. Следовательно, изотермические поверхности будут представлять собой цилиндрические поверхности коаксиально расположенные к поверхности трубопровода. В этом случае температурное поле будет зависеть от координат j, r, x. Между радиальной координатой r и координатами y и z существует связь

.

(4.74)

Тогда оператор Лапласа (4.49) в цилиндрической системе координат примет вид

.

(4.75)

С учетом (4.73) уравнение конвективного теплообмена примет вид

.

(4.76)

Предполагая, что перенос теплоты теплопроводностью в радиальном направлении во много раз больше, чем в осевом, т.е.

.

(4.77)

Тогда членом можно пренебречь как величиной бесконечно малой. Кроме того, предположим, что поток дизельного топлива движется только в направлении оси трубопровода, а в радиальном направлении перемещение частиц топлива отсутствует, тогда Jr=0.

Измерением температуры дизельного топлива в трубопроводе низкого давления на выходе из подогревателя, на входе в ФГО и в среднем сечении нами установлено, что при заданном режиме работы подогревателя, температура потока жидкости не меняется во времени. Следовательно, поток топлива в трубопроводе низкого давления следует рассматривать как стационарный, и в уравнении (4.75) слагаемое

.

(4.78)

С учетом (4.76)-(4.78) Уравнение (4.75) примет вид

.

(4.79)

уравнение (4.79) имеет вид:

.

(4.81)

Это незамкнутое дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и r. Уравнение (4.81) может быть решено только совместно с замыкающими уравнениями (4.62) и (4.73).

Система уравнений (4.75), (4.82), (4.83) описывает бесчисленное множество процессов теплообмена между жидкостью и окружающей средой, изменяющихся в пространстве и времени. Для того чтобы выделить рассматриваемый процесс и однозначно его определить, необходимо дополнительно задать начальные и граничные условия, которые определяют единственность решения задач конвективного теплообмена. Начальные и граничные условия однозначности, которые в совокупности называются краевыми условиями, содержат информацию о распределении температуры внутри жидкости в начальный момент времени; о закономерности взаимодействия между потоком дизельного топлива трубопроводом; между трубопроводом и окружающей средой; о характере изменения температуры топлива во времени и пространстве; о скорости течения жидкости в трубопроводе.