4.3.1 Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена
Выделим в потоке жидкости неподвижный (относительно координатной системы XYZ) (рис. 4.3), элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям. Через грани параллелепипеда теплота переносится теплопроводностью и конвекцией. В рассматриваемом объеме может выделяться теплота внутренними источниками за счет внешней энергии по отношению к рассматриваемому источнику. Например, теплота от трения частиц топлива о стенки трубопровода и молекул между собой.
Рис. 4.3. Расчетная схема переноса тепла в потоке жидкости на ось OX
Количество теплоты, которая подводится к граням элементарного объема за время dt в направлении осей OX, OY и OZ обозначим соответственно через dQX, dQY и dQZ.
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно через dQX+dX, dQY+dY и dQZ+dZ.
Количество теплоты, подводимой к грани dydz в направлении оси Х за время dt равно
dQX=qXdydz dt, (4.34)
где
qX
— проекция вектора плотности теплового
потока
Количество теплоты, отводимой через противоположную грань элементарного объема, в направлении оси OX составит
dQX+dX=qX+dX×dydzdt. (4.35)
Если dQX>dQX+dX, то элементарный объем будет нагреваться, т.е. аккумулировать тепловую энергию.
Если dQX<dQX+dX, то элементарный объем будет остывать, т.е. отдавать в окружающую среду тепловую энергию.
Количество теплоты, аккумулированной элементарным объемом в направлении оси OX равно
dQX1=dQX-dQX+dX=(qX-qX+dX)×dydzdt. (4.36)
Величина qX+dX есть непрерывная функция, координаты х и ее можно разложить в ряд Тейлора
|
(4.37) |
.
Так как, по условию величина dx нами принята как бесконечно малая, то dx2, dx3 также величины бесконечно малы высшего порядка и ими можно пренебречь.
Если ограничиться двумя первыми членами ряда Тейлора, то выражение (4.36) примет вид
|
(4.38) |
.Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимой к элементарному объему в направлении осей OY и OZ. Количество теплоты dQ, подводимое к элементарному объему составит
|
(4.39) |
.
Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема за единицу времени через qV, тогда
dQ2=qVVdt. (4.40)
В случае рассмотрения изобарного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, расходуется на изменение внутренней энергии дизельного топлива, заключенного в этом объеме
|
(4.41) |
,
где cV —теплоемкость единицы объема топлива.
Подставляя в (4.34) значения (4.40), (4.41), а так же (4.35) получим
|
(4.42) |
.
Проекция
плотности теплового потока
на
координатные оси OX,
OY,
OZ
в соответствии с законом конвективного
теплообмена [41] равны
|
(4.43) |
.Подставляя значения qX, qV и qZ в уравнение (4.43) получим
|
(4.44) |
.
Для несжимаемых жидкостей r=const, тогда
|
(4.45) |
.
После преобразований уравнения (4.44) с учетом (4.45) и (4.36) получим уравнение энергии
, |
(4.46) |
|
(4.47) |
,
где
—
коэффициент температуропроводности
[77].
Многочлен,
стоящий в левой части уравнения (4.47)
представляет собой полную производную
от температуры по времени, величина
характеризует изменение температуры
во времени в какой-либо точке жидкости.
Член уравнения (4.47)
— характеризует изменение температуры
при переходе от точки к точке.
В уравнении (4.47) оператор Лапласа обозначим
|
(4.48) |
.
Если t=t(x,y,z,t), то
|
(4.49) |
,
где
— проекция вектора скорости жидкости
на оси координат (рис.4.3).
С учетом (4.48) и (4.49) уравнение энергии (4.47) примет вид
|
(4.50) |
.
Выражение (4.50) является дифференциальным уравнением переноса энергии по трубопроводу низкого давления, кроме того, оно — уравнение трех независимых переменных: температуры t, скорости J и времени t. Для решения уравнения (4.50) относительно искомой температуры на выходе из подогревателя, составим замыкающее условие — уравнение движения топлива по трубопроводу низкого давления.