Занятие №10 Приложения интеграла Римана

1. Вычисление площадей.

1.1 Площадь криволинейной трапеции , где и непрерывны на отрезке , вычисляем по формуле .

1.2 Аналогично для трапеции , где и непрерывны на отрезке , вычисляем по формуле .

1.3 Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами , и кривой , где функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , ( вычисляем по формуле .

1.4 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кусочно-гладкой простой замкнутой кривой, заданной уравнениями , где и пробегаемой против часовой стрелки, вычисляем по формуле , или , или .

2. Найти площади фигур, ограниченных кривыми (сделать чертеж):

1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , , ; 7) ;

8) , и прямой ; 9) ,

10) , и прямой , ; 11) ;

12) 13) 14) 15)

3. Вычисление длины дуги кривой.

3.1 Если кривая задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция, то .

3.2 Если кривая задана уравнениями , где , а непрерывно дифференцируемые функции, то .

3.3 Если кривая задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция, то .

4. Найти длину дуги кривой:

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) ;

5) , ; 6) , ; 7) , ;

8) , ; 9) , ; 10) 11) .

Занятие №11 Приложения интеграла Римана

5. Вычисление объема тела вращения

5.1 Объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , где непрерывны на отрезке , вычисляем по формуле:

.

5.2 Объем тела, полученного вращением вокруг оси трапеции , где непрерывны на отрезке , вычисляем по формуле:

.

5.3 Объем тела, образованного при вращении вокруг полярного луча сектора , , равен: , где непрерывная при функция.

6. Найти объемы тел, полученных при вращении:

1) Фигуры, ограниченной дугой параболы и прямой , вокруг оси ;

2) Фигуры, ограниченной дугой параболы , отрезком оси и отрезком прямой , вокруг оси ;

3) Фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и отрезком оси , вокруг оси ;

4) Фигуры, ограниченной дугой логарифмической спирали , и полярной осью, вокруг полярной оси;

5) Фигуры, ограниченной кривой , вокруг оси ( ;

6) Фигуры, ограниченной дугой астроиды и отрезками осей координат, вокруг оси ;

7) Фигуры, ограниченной кривой и отрезками прямых и , вокруг а) оси , б) оси ;

8) Фигуры, ограниченной кривой , отрезками осей координат и отрезком прямой , вокруг оси ;

9) Фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой , вокруг оси ;

10) Фигуры, ограниченной кривой и отрезком прямой , вокруг оси .

7. Вычисление площадей поверхности вращения:

7.1 Если непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, то площадь поверхности, образованной вращением графика этой функции вокруг оси равна:

7.2 Если в полуплоскости параметрически задана кривая , где , а непрерывно дифференцируемые функции, то площадь поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси , равна:

Если кривая расположена в полуплоскости , то

.

7.3 При аналогичных условиях площадь поверхности, образованной при вращении кривой вокруг оси соответственно равна:

,

,

7.4 Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярного луча кривой , , равна: , где непрерывно дифференцируемая при функция.