4. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6*)
5. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
Занятие №6 Интегрирование некоторых иррациональных функций
1.
Интегралы
вида
,
где
-
рациональные числа,
– действительные числа, причем
,
а
- рациональная функция по каждому из
своих аргументов, т.е. допускает только
операции сложения, вычитания, умножения
и деления, приводятся к интегралу от
рациональной функции подстановкой:
,
где
– общий знаменатель дробей
.
Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2.
Интегралы
вида
,
где
,
а
приводятся к интегралу от рациональной
функции подстановками Эйлера:
,
если
;
,
если
;
или
,
где
– различные
действительные корни квадратного
трехчлена
.
Знаки в правых частях можно брать в
любых комбинациях. Применяя подходящую
подстановку Эйлера, вычислить интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.
Интегралы
вида
,
где
– действительные числа,
– рациональные числа, причем
,
,
,
называют интегралами от дифференциального
бинома. Эти интегралы сводятся к
интегралам от рациональных функций в
трех случаях:
а)
если
– целое число, то применяется подстановка
,
где
– общий знаменатель дробей
и
;
б)
если
– целое число, то применяется подстановка
,
где
– знаменатель дроби
;
в)
если
– целое число, то применяется подстановка
,
где
– знаменатель дроби
.
Выполнив соответствующую подстановку, найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Занятие №7 Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
1.
Интегралы
вида
,
где
- рациональная функция по каждому из
своих аргументов, приводятся к интегралу
от рациональной функции универсальной
тригонометрической подстановкой:
,
,
тогда
,
,
.
2.
а) Если выполняется равенство
, то выгодно применить подстановку
;
б)
Если выполняется равенство
, то выгодно применить подстановку
;
в)
Если выполняется равенство
, то выгодно применить подстановку
или
;
3.
Если нужно проинтегрировать выражение
,
где оба показателя неотрицательные
четные, то следует заменить
и
;
4.
Интегралы вида
;
;
,
где
–целые положительные числа, берутся с
помощью тригонометрических формул:
5. Применяя различные приемы, вычислить интегралы:
1)
2)
3
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Занятие №8-9 Интеграл Римана
1.
Запишите
определение интеграла Римана функции
на отрезке
.
Какие функции называются интегрируемыми
по Риману на отрезке
.
2. Сформулируйте а) необходимое, б) достаточное условие интегрируемости функции на отрезке, в) критерии интегрируемости по Риману.
3. Докажите, что функции не являются интегрируемыми по Риману на заданных отрезках:
а)
,
б)
,
4.
Для функции
составьте суммы Дарбу
,
,
,
, отвечающие разбиению отрезка
а) на 3, б) на 6 равных частей. Сделайте
чертеж, сравните полученные результаты.
5.
Вычислите интеграл а)
,
б)
,
как предел интегральных сумм, разбивая
отрезок
на
равных частей и выбирая отмеченные
точки в правых концах частичных отрезков.
6. Запишите свойства определенного интеграла. Оцените интегралы:
7. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислите:
8. Найти пределы:
9. Найти интегралы от разрывных функций:
10. Найти интегралы, применяя подходящую подстановку или методом «по частям»: