Занятие №1 Первообразная. Неопределенный интеграл.
1.
а)
Дайте определение первообразной функции
.
б) Что такое неопределенный интеграл функции ?
в) Назовите свойства неопределенного интеграла.
г) Составьте таблицу основных неопределенных интегралов.
2. Найти первообразную функции , график которой проходит через указанную точку:
а)
,
б)
,
в)
,
3. Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
4. Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
5.
Доказать, что если
,
то
,
.
6. Пользуясь формулой задачи №5, найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
л)
м)
н)
7.
Пусть функция
является первообразной функции
на все числовой оси. Доказать или
опровергнуть следующие утверждения:
а) Если - периодическая функция, то и – периодическая.
б) Если - нечетная функция, то и – четная.
в) Если - четная функция, то и – нечетная.
8.
а)
Доказать, что функция
не имеет на всей числовой оси ни одной
первообразной.
б) Привести пример разрывной функции, для которой на всей числовой оси первообразная существует.
Занятие №2 Интегрирование методом подстановки
9. Доказать формулы:
а)
б)
10. Ввести новое переменное и найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
е)
и)
к)
л)
м)
11. Найти интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
12. Подобрав подходящую подстановку, найти интеграл:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
Занятие №3 Интегрирование по частям
1.
Запишите формулу интегрирования по
частям. Какие условия на функции
и
нужно наложить?
2.
Интегралы вида:
,
,
,
где
– некоторый многочлен,
– константа.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
3.
Интегрирование некоторых выражений,
содержащих
,
,
.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11*)
4.
Интегралы вида:
и
5. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
6.* Вывести рекуррентные формулы для вычисления интегралов:
1)
2)
3)
4)
Занятия №4-5 Интегрирование рациональных функций методом разложения на простейшие дроби
1. Какие рациональные функции называются простейшими (элементарными) дробями?
2. Представьте данные выражения в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
