3 Понятие о зонной теории твердых тел

В основе зонной модели твердого тела лежат следующие положения:

1. Кристалл представляет собой единую систему тяжелых ионов и легких обобществленных электронов.

2. Ионная решетка кристалла создает периодическое силовое поле, в котором движется электрон.

Движение электрона в металле описывает стационарное уравнение Шредингера, которое для электрона в кристалле имеет вид

 + ( E U ) = 0 , (17.1)

где U – потенциальная энергия электрона, обладающая периодичностью по всем трем осям х,у,z:

U(x+a,y,z)=U(x, y ,z); U(x,y+b,z)=U(x,y,z); U(x,y,z+c)=U(x,y,z). (17.2)

Здесь a ,b, c – параметры кристаллической решетки вдоль осей x, y, z.

Решением уравнения (17.1) являются функции Блоха

Ψ_к = u_k(x,y,z) e^ikr, (17.3)

где u_k(x,y,z) - функция, имеющая периодичность потенциала решетки, e^ikr – волновая функция свободного электрона, k – волновой вектор электрона.

Энергия электрона, как решение уравнения Шредингера при данных условиях, является функцией волнового вектора k . Зависимость Е(k) для модели одномерного кристалла представлена на рисунке 28.

а) б)

Рисунок 28 – Энергия электрона в одномерном кристалле

а) приближение свободных электронов;

б) электрон находится в периодическом поле кристалла.

Из рисунка 28б видно, что энергетический спектр (набор значений энергии) электрона в кристалле представляет собой совокупность квазинепрерывно меняющихся значений энергии (разрешенных зон), чередующихся с запрещенными зонами – значениями энергии, которые не могут реализоваться.

Чтобы лучше понять происхождение зон, рассмотрим воображаемый процесс объединения атомов в кристалл (рисунок 29). Пусть имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Изолированные атомы имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней. Заполнение уровней в каждом атоме происходит независимо от заполнения аналогичных уровней в других атомах. При сближении атомов взаимодействие между ними возрастает, что приводит к изменению положения уровней (Рисунок 29 б). Вместо одного, одинакового для всех N атомов уровня, возникают N очень близких, но не совпадающих уровней. Каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N густо расположенных уровней, образующих энергетическую зону очень близко расположенных разрешенных состояний (рисунок 29 а).

а) б)

Рисунок 29 - Образование энергетических зон

Величина расщепления для разных уровней не одинакова. Сильнее всего изменяются внешние электронные уровни. Внутренние электронные уровни, изменяются мало (рисунок 29 б).

Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Уровни располагаются в зоне тем теснее, чем больше атомов содержит кристалл. Если кристалл содержит 10²³ атомов, то расстояние между соседними уровнями составляет 10^-23эВ или 10^-42Дж. Таким образом, энергия в зоне меняется квазинепрерывно. С одной стороны есть разрешенные и запрещенные значения энергии в зоне, а с другой, они расположены так близко, что, фактически, представляют собой непрерывную зону разрешенных состояний. Разрешенные зоны чередуются с запрещенными значениями энергии, называемыми запрещенными зонами.