3 Динамические характеристики вращательного движения

Опыт показывает, что при вращательном движении важно не только значение массы тела и действующие на него силы, но и распределение массы и приложение сил относительно оси вращения. Основными физическими величинами динамики вращательного движения являются момент инерции и момент силы.

Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции. Моментом инерции материальной точки массой m называется физическая величина, равная

(2.6)

где r  расстояние от материальной точки до оси вращения.

Момент инерции твердого тела

(2.7)

где r_i  расстояние материальной точки массой m_i до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс

. (2.8)

В таблице 1 представлены моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы.

Момент инерции относительно любой параллельной оси, не проходящей через центр масс тела, определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси

(2.9)

где I₀  момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси,  расстояние между осями.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел

Тело	Ось, относительно которой находится момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему	(1/12) ml2
То же	Проходит через конец стержня перпендикулярно ему	(1/3) ml2
Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр шара	(2/5) mR2
Сплошной однородный цилиндр или диск массой m и радиусом R	Проходит через центр диска перпендикулярно ему	(1/2) mR2
Тонкое кольцо, обруч, труба массой m и радиусом R	Проходит через центр перпендикулярно плос-кости тела (основания).	mR2

Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на силу

, (2.10)

где  радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки О. Численное значение момента силы

(2.11)

где α – наименьший угол между направлениями и . Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат радиус-вектор и вектор силы, направление момента силы находится по правилу правого винта.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называется плечом силы. Величину момента силы можно определить как произведение силы F на ее плечо l

(2.12)

Для равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, была равна нулю относительно этой оси

(2.13)