1 Движение свободной частицы
Свободной частицей называется частица, движущаяся в отсутствии внешних полей. В этом случае потенциальную энергию частицы можно принять равной нулю. Для одномерного движения свободной частицы вдоль оси x стационарное уравнение Шредингера примет вид:
+
E
= 0 (15.8)
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением этого уравнения является функция Ψ(x)=Аexp(ikx), где А и k некоторые постоянные величины. Собственное значение энергии E= ħ2k2/2m.
Таким
образом, свободная квантовая частица
описывается плоской монохроматической
волной. Плотность вероятности обнаружения
частицы в любой точке пространства
одинакова и равна
.
Энергия частицы может принимать любые
значения и ее спектр оказывается
непрерывным.
2 Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками
Под одномерной прямоугольной «потенциальной ямой» шириной l с бесконечно высокими стенками понимается область пространства, в которой потенциальная энергия частицы U (x) удовлетворяет следующим условиям:
U (x)=∞ при x<0, U (x)=0 при 0≤ x ≤l, U (x)=∞ при x > l.
Энергия отсчитывается от дна «ямы».
По условию задачи (бесконечно высокие «cтенки») частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность обнаружения частицы за пределами «ямы» равна нулю. В пределах ямы (0≤ x ≤l) уравнение Шредингера имеет вид
+ (E-U) = 0 (15.9)
Решение этого уравнения с учетом условий непрерывности и нормировки волной функции приводит к следующим выражениям для собственных волновых функций и собственных значений энергии частицы:
,
(n=1,
2, 3 …..) (15.10)
Из (15.10) видно, что энергия частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Вероятность нахождения частицы в разных точках также оказывается различной. Так, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Контрольные вопросы
В чем проявляется корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения?
Сформулируйте гипотезу де Бройля. Как эта гипотеза подтверждается экспериментально?
Запишите соотношение неопределенностей для различных канонически сопряженных величин. В чем физический смысл этого соотношения?
Как объяснить стабильность атома в основном состоянии с помощью соотношения неопределенностей?
Какую информацию о микрообъекте несет квадрат модуля волновой функции?
Какую информацию о микрочастице можно получить, решив уравнение Шредингера?
Какова наименьшая энергия частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»? Может ли эта энергия быть равной нулю?
Как объяснить наличие минимальной энергии частицы в «яме» с помощью соотношения неопределенностей?
Лекция № 16 Строение атома и атомного ядра
1 Развитие представлений о строении атома
2 Атом водорода в квантовой механике
3 Многоэлектронные атомы
4 Атомное ядро
5 Радиоактивность. Радиоактивные излучения