3 Волновая функция и ее статистический смысл

Экспериментальные подтверждения идеи де Бройля об универсальности корпускулярно – волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, а также целый ряд экспериментальных фактов, не описываемых классической механикой, привели к новому этапу развития физики – созданию квантовой механики. Ее создание и развитие охватывает первые два десятилетия XX в. и связано с именами М. Планка, Э. Шредингера, В. Гейзенберга, П. Дирака.

Важнейшей отличительной особенностью квантовой механики является необходимость вероятностного подхода, связанного с волновыми свойствами микрочастиц. Квантовая механика, описывающая поведение микрообъектов, имеет статистический характер.

Основным носителем информации о корпускулярных и волновых свойствах микрообъекта в квантовой механике является волновая функция (x, y, z, t) (пси-функция), имеющая вероятностный смысл. Квадрат модуля волновой функции ² определяет плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в области с координатами xx+x, yy+y, zz+z. Вероятность нахождения частицы в элементе объема dV равна

dW = (x, y, z)²dV. (15.4)

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V равна

W = (15.5)

Волновая функция должна удовлетворять стандартным условиям, т.е. быть конечной, непрерывной, однозначной, иметь конечную первую производную во всей области определения. Важнейшим условием является условие нормировки волновой функции:

= 1 (15.6)

Смысл условия нормировки заключается в том, что вероятность обнаружения реально существующей частицы в пространстве равна 1 (достоверное событие). Интеграл (15.6) вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от −∞ до +∞.

4 Уравнение Шредингера и его решения для ряда простейших случаев

Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является уравнение Шредингера, позволяющее определить пси-функцию микрообъекта и, следовательно, определить вероятность нахождения микрообъекта в различных точках пространства. Уравнение Шредингера имеет для объектов микромира то же значение, что и второй закон Ньютона для объектов макромира. Справедливость уравнения Шредингера следует из многочисленных экспериментальных подтверждений.

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

 + ( E U ) = 0 , (15.7)

где E − полная энергия частицы массой m, U − ее потенциальная энергия, − оператор Лапласа.

Решить уравнение Шредингера – значит найти совокупность всех волновых функций и совокупность всех значений энергии, соответствующих данному микрообъекту. Такие волновые функции и значения энергии называются собственными. В зависимости от конкретных условий спектр собственных значений энергии может быть как непрерывным (сплошным), так и дискретным. Важнейшим выводом квантовой механики является квантование энергии, момента импульса и других характеристик микрообъектов.

Рассмотрим несколько простых примеров.