3 Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Поскольку густота линий выбирается равной численному значению напряженности, то количество линий, пронизывающей площадку dS, перпендикулярную к вектору , будет числено равно ЕdS. Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором угол a, то количество силовых линий пронизывающих площадку dS, будет числено равно E dS cosa = E_n dS, где E_n - составляющая вектора по направлению нормали к площадке. Отсюда для количества линий Е, пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение

. (8.6)

Выражение (8.6) называется потоком вектора напряженности электрического поля через площадку S.

Можно показать, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

. (8.7)

Выражение (8.7) называется теоремой Гаусса. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то теорема записывается так

, (8.8)

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S. Если внутри поверхности нет заряда, то поток равен нулю.

Наряду с вектором напряженности для описания электрического поля вводится величина , называемая электрическим смещением. Для вакуума = ₀ , для среды = ₀ .

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность

, или . (8.9)

Теорема Гаусса является математическим выражением факта существования электрических зарядов. Теорема Гаусса широко применяется для расчета электрических полей.

4 Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории перемещается другой заряд q₁, то сила совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении dl равна

dA= ,

где сила взаимодействия точечных зарядов определяется по закону Кулона F=q₁q/(4₀r²). Очевидно, что (угол α – это угол между направлением действия силы Кулона и элементарным перемещением).

Отсюда

. (8.10)

Из уравнения (8.10) следует, что работа осталась бы той же, если бы заряд перемещался по другому пути. Таким образом, работа по перемещению пробного заряда q₁ в поле, создаваемом точечным зарядом q, не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным состояниями системы. Напомним, что силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным, а действующая сила − консервативной (см.лекцию № 3).

Из формулы (8.10) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуру, равна нулю:

. (8.11)

Разделив левую и правую части выражения (8.11) на q, имеем:

. (8.12)

Интеграл (8.12) называется циркуляцией напряженности вектора вдоль замкнутого контура . Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура всегда равна нулю. Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах или же уходят в бесконечность.

5 Электрическое поле в веществе

По электрическим свойствам все вещества делятся на проводники, полупроводники и диэлектрики (изоляторы). Вещества, проводящие электрический ток, называются проводниками. Диэлектриками называются вещества, не способные проводить электрический ток. Идеальных изоляторов в природе не существует, все вещества хотя бы в ничтожной степени проводят электрический ток. Вещества, называемые диэлектриками, проводят ток в 10¹⁵ – 10²⁰ раз хуже, чем вещества, называемые проводниками.

Опыт показывает, что электрическое поле внутри проводника (например, металла) всегда равно нулю. При помещении проводника в электростатическое поле в проводнике начинается перемещение зарядов под действием сил поля. Это перемещение (ток) продолжается до тех пор, пока внутри проводника не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле не обратится в нуль. Этот процесс продолжается в течение очень короткого промежутка времени (~10^-6 с). Если бы поле внутри проводника не было бы равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение электрических зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Отсутствие поля внутри проводника означает, что все его точки обладают одинаковым потенциалом, т.е. поверхность проводника в электрическом поле является эквипотенциальной.

Под действием электрического поля диэлектрик поляризуется и электрическое поле внутри его становится меньше внешнего. Процесс поляризации диэлектриков связан с возникновением в нем отличного от нуля результирующего дипольного момента всех его молекул. Обычно в отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты молекул диэлектрика либо равны нулю (неполярные молекулы, например, Н₂, О₂, N₂), либо распределены по направлениям в пространстве хаотическим образом. (полярные молекулы, например, NH, HCl, CO). При внесении диэлектрика в электрическое поле происходит либо появление дипольного момента у неполярных молекул (электронная поляризация), либо появляется преимущественное направление ориентации дипольных моментов у полярных молекул. В обоих случаях в результате в диэлектрике возникает отличный от нуля электрический дипольный момент. Возникшее в результате поляризации электрическое поле (т.н. поле связанных зарядов) направлено противоположно внешнему электрическому полю, поэтому результирующее электрическое поле в диэлектрике всегда меньше соответствующего электрического поля в вакууме. Диэлектрической проницаемостью диэлектрика ε называется безразмерная величина, показывающая во сколько раз напряженность электрического поля в диэлектрике Е меньше, чем напряженность электрического поля в вакууме Е₀:

ε= Е₀/Е (8.13)

Обычно диэлектрическая проницаемость диэлектриков составляет несколько единиц (например, в стекле электрическое поле ослабляется по сравнению с вакуумом в 6 раз, в глицерине в 39 раз, в воде – в 81).

Большую практическую ценность представляют сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) намагниченностью. К сегнетоэлектрикам относятся, например, сегнетова соль NaKC₄H₄O₆×4H₂O и титанат бария BaTiO_3.

Сегнетоэлектрики отличаются от обычных диэлектриков рядом характерных особенностей: большим значением диэлектрической проницаемости (порядка нескольких тысяч), зависимостью диэлектрической проницаемости от напряженности внешнего поля и наличием гистерезиса. Поведение поляризованности сегнетоэлектриков аналогично поведению намагниченности ферромагнетиков, поэтому сегнетоэлектрики иногда называют ферроэлектриками.

Свойства сегнетоэлектриков объясняются следующим образом. Взаимодействие частиц в кристалле сегнетоэлектрика приводит к тому, что их дипольные моменты спонтанно устанавливаются параллельно друг к другу. В кристалле возникают области, в пределах каждой из которых дипольные моменты параллельны друг к другу, однако направления поляризации разных областей различны. Такие области спонтанной поляризации называются доменами. Под действием внешнего поля моменты доменов поворачиваются как целое, устанавливаясь по направлению поля.

В настоящее время известно более сотни сегнетоэлектриков и большое количество их твердых растворов. Сегнетоэлектрики широко применяются в качестве материалов с большими значениями диэлектрической проницаемости (например, в конденсаторах). Титанат бария используется в качестве генератора и приемника ультразвуковых волн.