5 Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения МКТ и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы внешние силы не действуют и молекулы равномерно распределены по объему. Однако, молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. Тепловое движение молекул, с одной и стороны, и тяготение, с другой стороны, приводит к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление с высотой убывает.

Закон изменения давления с высотой выводится в предположении, что поле тяготения однородно, температура с высотой не изменяется и масса всех молекул одинакова. Несложные преобразования позволяют получить барометрическую формулу:

. (5.12)

Здесь p – давление атмосферы на высоте h, p₀ – давление на уровне моря.

Барометрическую формулу можно преобразовать, воспользовавшись соотношением (5.2) p=nkT.

. (5.13)

Здесь n – концентрация молекул на высоте h; n₀ – концентрация молекул на высоте h =0. Поскольку m₀gh=П представляет собой потенциальную энергию молекулы в поле тяжести, то выражение (5.13) можно записать следующим образом:

, (5.14)

Выражение (5.14) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Оно описывает распределение концентрации молекул по их потенциальным энергиям. Из закона видно, что чем больше потенциальная энергия молекул, тем меньше их концентрация. Этот факт хорошо подтверждается убыванием концентрации молекул в поле тяготения Земли.

Выражение (5.14) справедливо не только для частиц, находящихся в поле тяготения, но и для любых хаотически движущихся частиц одинаковой массы в любом внешнем потенциальном поле.

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте статистический и термодинамический методы изучения термодинамических систем. Почему эти методы качественно различны и взаимно дополняют друг друга?

2. Сформулируйте основные положения МКТ. Как экспериментально подтверждаются эти положения?

3. Какой газ называется идеальным? Почему модель идеального газа оказалось столь плодотворной для описания реальных систем?

4. Дайте определение изопроцесса и опишите известные Вам изопроцессы. Представьте изопроцессы графически в координатах давление, объем, температура.

5. Поясните молекулярно-кинетический смысл абсолютной температуры.

6. Каков смысл средней квадратичной скорости молекул? От каких параметров зависит эта величина?

7. Представьте распределение Больцмана графически для двух различных масс молекул и двух различных температур газа.

Лекция № 6

Основы равновесной термодинамики

1 Внутренняя энергия тела и идеального газа

2 Работа газа при изменении его объема

3 Первое начало термодинамики

4 Второе начало термодинамики

5 Тепловые двигатели и их КПД

1 Внутренняя энергия тела и идеального газа

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия. Внутренней энергией системы называется энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц и энергия их взаимодействия. Внутренняя энергия системы – однозначная функция термодинамического состояния системы: в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией, не зависящей от процесса, в результате которого система пришла в это состояние.

В идеальных газах отсутствует взаимодействие между молекулами, поэтому внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий движения всех его молекул. Как уже отмечалось, при большом числе частиц можно воспользоваться усредненными характеристиками и представить внутреннюю энергию идеального газа как произведение средней кинетической энергии ε₀ на число частиц N:

(6.1)

Одним из основных законов классической статистической физики является закон Больцмана, согласно которому на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ½ kT (k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура). На каждую колебательную степень свободы приходится одинаковое количество энергии, равное kT. Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул по классическим представлениям оказывается пропорциональной абсолютной температуре T:

. (6.2)

Напомним, что числом степеней свободы называется количество независимых переменных, полностью определяющих положение системы в пространстве. Молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, имеющую три степени свободы поступательного движения. Молекулу двухатомного газа в классической физике представляют как систему двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью. Такая молекула имеет три степени свободы поступательного движения и две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла (кинетическая энергия такого вращения равна нулю). Трехатомные и многоатомные молекулы имеют шесть степеней свободы: три степени свободы поступательного движения и три вращательного. Колебательными степенями свободы в модели идеального газа пренебрегают.

Таким образом, общее число степеней свободы любой молекулы

i= i_пост.+i_вр. (6.3)

Используя (6.2) и формулы молекулярно – кинетической теории можно получить выражение для внутренней энергии идеального газа:

. (6.4)

Еще раз подчеркнем, что внутренняя энергия является однозначной функцией состояния; изменение внутренней энергии в цикле равно нулю.