2.3. Колебания твердой плоскости над слоем жидкости бесконечной глубины

Рассмотрим подробнее частный случай задачи при . В пределе формула () приобретает вид

что приводит к формуле

Определение закона движения частиц жидкости

Найдем закон движения частицы, находящейся в момент времени в точке с координатами , для чего интегрируем систему дифференциальных уравнений ()

Интегрирование дает

Как следует из полученной формулы, все слои жидкости параллельные пластине совершают продольные гармонические колебания с той же частотой, что и пластина, но в разных фазах. Амплитуда их колебаний экспоненциально убывает с удалением слоев от пластины. Уже при амплитуда колебаний соответствующего слоя в тысячу раз меньше амплитуды колебаний пластины.. Чем больше частота колебаний пластины, тем тоньше становится слой жидкости, приводимый в движение пластиной. Как нетрудно усмотреть, величина играет роль местного числа Рейнольдса.

Работа, затрачиваемая на поддержание колебательного движения пластины

Определим напряжение трения на пластине по формуле

Используя формулу (), находим

что дает

Мощность сил трения, приходящаяся на часть пластины площади S, вычисляется по формуле

что дает

Работа сил трения за период вычисляется по формуле

Значения последнего интеграла определяет работу сил трения, приложенных со стороны жидкости к пластине

Как известно, работа внешних и внутренних сил, приложенных к жидкому объему, идет на увеличение кинетической и тепловой энергии жидкости, заключенной в этом объеме. Если вычислить приращение кинетической энергии объема жидкости, приведенного в движение пластиной, то можно определить, какая часть работы сил, приводящих пластину в движение, затрачивается на повышение тепловой энергии жидкости.

Рассмотрим жидкий полубесконечный цилиндрический объем жидкости, ограниченный с торца частью пластины с площадкой размера и образующими параллельными оси Ох. В силу периодичности движения этот объем жидкости не приобретает никакого приращения кинетической энергии за один период колебаний. Следовательно, работа сил, приводящих в движение пластину, идет только на повышение температуры жидкости, т.е. диссипируется. В единице объема диссипируется энергия, равная

В рассматриваемом случае отличны от нуля только две компоненты тензора скоростей деформации и . Учитывая формулу () находим их значения

При этом имеем

За период Т в объеме жидкости dx диссипируется энергия, равная

Во всем полуцилиндре за период Т диссипируется энергия в размере

Как видно, имеет место полное равенство работы ( ), затрачиваемой за период колебаний на приведение в движение пластины, и энергии , связанной с сопротивлением вязкой жидкости этому движению, которая за этот же период диссипируется, т.е. рассеивается в виде тепла, в этом объеме жидкости.