Локальная система координат для двумерного симплекс-элемента

Двумерным симплекс-элементом по определению является треугольник (см. рисунок)

Рис. Двумерный симплекс-элемент

Найдем для него, как и для одномерного симплекс-элемента, интерполяционное соотношение для функции, заданной на элементе посредством узловых значений.

решение этой системы даст:

где – площадь треугольника _ijk

подставляя в (3), можно получить выражение вида (2)

U^(e)  N_iU_i + N_jU_j + N_kU_k  [N] ^(e){U}^(e),

где

Для двумерного треугольного элемента локальной системы координат являются три относительных координаты площади: L₁, L₂, L₃.

L₁  S₁/S; L₂ = S₂/S; L₃ S₃/S; S S₁ + S₂ + S₃.

Рис. Частичные площади и орты локальных координат

Таким образом, для точки Р в трехузловом треугольном элементе локальные координаты определяются делением площади треугольника образованного точкой Р и соответствующим основанием, на площадь всего треугольника.

Связь декартовой системы координат с локальными координатами определяется матричным уравнением:

Аналогично одномерному симплекс-элементу, двумерный симплекс-элемент имеет соответствие функций формы с локальными координатами:

N_i  L_i; N_j  L_j; N_k  L_k.

Упрощенная формула интегрирования:

где S – площадь труегольника (элемента).

Для трехмерной задачи симплекс-элемент представляет собой тетраэдр и имеет четыре узла.

Обобщенные и глобальные матрицы мкэ

Введем в рассмотрение матрицу {U} – глобальную матрицу узловых неизвестных. Элементы этого вектора-столбца – неизвестные значения искомой функции в узлах конечно-элементной сетки решаемой задачи. Их число равно числу узлов всей сетки. Например, сетка КЭ задачи содержит 4 узла.

Для данного примера локальные матрицы {U}^(e) элементов и глобальная матрица {U} будут следующими.

Вышеприведенная запись локальных матриц узловых неизвестных {U}⁽¹⁾ и {U}⁽²⁾ является упрощенной. При рассмотрении задачи в целом необходим переход к неупрощенным (обобщенным матрицам). На примере рассмотренной ранее задачи введем понятие обобщенной матрицы функций формы конечного элемента.

Упрощенная запись: [N]⁽¹⁾  [N_i N_j N_k]; [N]⁽²⁾  [N_i N_j N_k].

Обобщенная запись: [N]⁽¹⁾  [N_i N_j 0 N_k]; [N]⁽²⁾  [N_i 0 N_k N_j].

То есть в обобщенной матрице функций формы число элементов равно числу узлов сетки задачи. Положение функций формы в обобщенной матрице соответствует глобальной нумерации узлов. Например, в нашем случае j-му узлу второго элемента соответствует четвертый узел глобальной нумерации, поэтому функция формы этого узла находится в четвертом столбце обобщенной матрицы. Элементы обобщенной матрицы функций формы КЭ, соответствующие узлам не входящим в элемент равны нулю.

Финитную функцию на элементе можно записать теперь как произведение обобщенной матрицы функций формы на глобальную матрицу узловых неизвестных:

U^(e)  [N] ^(e){U}. (1)

В рассматриваемом нами примере U⁽²⁾ = [N_i 0 N_k N_j][U₁ U₂ U₃ U₄]  N_iU₁  N_kU₃  N_jU₄  N_iU_i  N_kU_k  N_jU_j.

Рассмотрим теперь искомую функцию во всей исследуемой области. Как известно, она находится как сумма финитных функций всех элементов:

Подставим сюда запись (1).

Матрицу {U} можно вынести из-под знака суммы:

Здесь [N] – глобальная матрица функций формы задачи, представляющая собой сумму обобщенных матриц функций формы всех КЭ.

Метод конечных элементов дает способ представления искомой функции. Решение же самой задачи в рамках этого метода осуществляется посредством применения какого-либо другого метода. Таким методом может быть метод наименьших квадратов, метод Ритца, Метод Галеркина и другие.