Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на замене непрерывной области моделирования физического процесса набором подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Непрерывная функция U, определенная в расчетной области, заменяется при этом непрерывной кусочно-гладкой функцией U, представляющей собой сумму гладких финитных функций.

Финитной называется функция заданная в некоторой области (в нашем случае на конечном элементе) и равная нулю вне этой области. Причем в МКЭ используются такие финитные функции для которых необходимо задание лишь нескольких значений в точках называемых узлами конечного элемента. Значение функции в других точках конечного элемента определяется интерполированием. Это позволяет после замены U на U перейти от поиска бесконечного числа значений функции во всех точках исследуемой области к поиску значений функции лишь в узлах конечных элементов.

Рис. Замена непрерывной области сеткой конечных элементов и гладкой искомоай функции кусочно гладкой (слева); Финитная функция на конечном элементе (справа)

Таким образом

Простейший конечный элемент имеет число узлов больше на единицу мерности элемента и называется симплекс-элемент. Конечный элемент, имеющий большее число узлов, называется комплекс-элементом.

Рассмотрим одномерный симплекс-элемент.

Рис. Одномерный симплекс-элемент и функция заданная на нем.

i, j – узлы конечного элемента; x_i, x_j – координаты узлов конечного элемента;

U_i, U_j – узловые значения функции U^(e).

Математическая запись линейной интерполяция U^(e) имеет вид:

(1)

Из условия

найдем и где (длина элемента)

Подставив эти выражения в (1), получим:

или

Функции, являющиеся сомножителями узловых значений U_i и U_j называются функциями формы конечного элементов и обозначаются N_i и N_j., где N_i – функция формы i-го узла конечного элемента, а N_j – функция формы j-го узла конечного элемента.

Рис. Функции формы одномерного симплекс-элемента

Таким образом, или в матричном виде

(2)

где [N]^(e)  [N_i, N_j] – матрица-строка функций формы конечного элемента (матрица функций формы)

– вектор-столбец узловых значений функции U.

Запись (2) является основополагающей и применима к любым конечным элементам.

Число элементов матриц [N]^(e) и [U]^(e) равно числу узлов конечного элемента.

Определение функции формы

Для любой разновидности конечного элемента функция формы любого узла равна единице в этом узле и нулю во всех остальных узлах КЭ. Внутри элемента функции формы могут изменяться произвольным образом, но должны быть непрерыввны. Вне конечного элемента функции формы раавны нулю.

Локальная система координат одномерного симплекс-элемента

Если необходимо произвести интегрирование функции заданной на конечном элементе, то запись функций формы в системе координат, связанной с элементом может заметно упростить задачу.

Такую систему координат называют локальной, или локальными координатами

При x  x_i, L₁  1, L₂  0; при x  x_j, L₁  0, L₂  1.

можно увидеть что L₁  N_i, а L₂  N_j.

При интегрировании некоторых функций , после вынесения из-под знака интеграла постоянных сомножителей получится интеграл вида:

где L – длина конечного элемента.