56.Канонічний розподіл Гіббса

Знайдемо ф-цію розподілу для ізотермічної си-ми, яка перебуває в термостаті причому її можна розглядати як частину ще більшої си-ми. Розіб’ємо розглядувану систему у термостаті на дві підсистеми х’ i x”. Ф-ція розподілу буде залежати від повної енергії си-ми H(x,a), тобто f(x’)= H’(x’,a’)) і відповідно f(x”)= (H”(x”,a”)). Повну енергію розгляд.ізотермічної си-ми можна представити як суму енергій підсистеми і енергію взаємодії між ними:

H(x,a)=H’(x’,a’)+ H”(x”,a”)+U₁₂ (1)

Енергію U₁₂ можна вибрати як завгодно малою

H(x,a)=H’(x’,a’)+H”(x”,a”) (2)

H=H’+H”

Викорис. теорему про множення імовірності для незалежних підсистем x’ i x” одержимо співвідношення:

(3)

Прологарифмуємо цей вираз:

ln (4)

і візьмемо диференціал від лівої і правої частини спів-ня (4)

Або (5)

Враховуючи, що dH’, dH” можуть незалежно перет. В нуль співвідношення(5)

( (6)

Де - деяка стала. Проінтегруємо (6)

ln (7)

- стала інтегрування

Отже, ф-ція розподілу буде мати вигляд:

(8)

Стала повинна бути відємною величиною(щоб отримався правильний фізичний висновок). Крім того введемо такі позначення

(9)

(10)

має зміст термодинамічної температури KT вираз (10) і є канонічний розподіл Гіббса для ізотермічної си-ми. Якщо си-ма складається з N частинок, то в ній можливі N! Перестановок, а тому (10) набуває вигляду

(11)

Величина має зміст вільної енергії середня енергія си-ми <H> дорівнює внутрішній термодинамічній енергії U , тому вона може бути записана як:

_{v або}

_{U= v} (12)

Це є рівняння Гіббса-Гельмюльца

Скористаємось умовою нормування вільна енергія може бути визначена як

=- (13)

Де z носить назву інтегралу станів і визначається як

(14)

Він відіграє важливу роль у електростатичній фізиці оскільки відображає внутрішній стан си-ми.Інтегр. станів дозволяє підрахув. Для будь-якої стат. си-ми вільну енергію, а також ряд інших термодинамічних ф-цій.

57. Рівняння Максвела – Больцмана

Для ідеального газу ф-ю Гамільтона H(x, a) можна замінити енергією E(x), і тоді можна підрахувати ймовірність знаходження си-ми з енергією E в елементі фазового об єму (dx)^6N, тобто

(1)

Для си-ми з N не взаємодіючих частинок енергію E можна представити як суму

А це значить, що (1) можна записати

(2)

Проінтегруємо (2) по 6(N-1) змінній всіх частинок, окрім i-ї. Отримаємо

(3)

У виразі (3) енергія розглядається як ф-я координат і імпульсу. Енергія однієї частинки може бути представлена як

А значить (3) запишимо як