Задача 17

Рассмотреть зависимость между выручкой от продажи (у) и расходами на рекламу (х) с помощью корреляционного анализа.

№	x	y	x2	xy	y2	yx	(y – yср)	(y – yср)2	(y – yх)2
1	40	70	1600	2800	4900	70,20	–2,57	6,61	0,04
2	42	72	1764	3024	5184	71,38	–0,57	0,33	0,39
3	38	68	1444	2584	4624	69,02	–4,57	20,90	1,04
4	46	65	2116	2990	4225	73,73	–7,57	57,33	76,28
5	44	80	1936	3520	6400	72,56	7,43	55,18	55,41
6	48	75	2304	3600	5625	74,91	2,43	5,90	0,01
7	50	78	2500	3900	6084	76,09	5,43	29,47	3,65
Σ	308	508	13664	22418	37042	507,89		175,71	137

Для расчёта уточнённых значений у_х необходимо определить уравнение связи. Для этого составим систему нормальных уравнений:

a * n + b * Σx = Σy

a * Σx + b * Σx² = Σxy

Подставим рассчитанные значения:

7 * a + 308 * b = 508

308 * a + 13664 * b = 22418

Решая эту систему, получим a = 46,64; b = 0,589.

Данный экономический процесс описывается прямолинейной зависимостью:

y = a + b * x

Тогда уравнение связи примет вид:

y = 46,64 + 0,589 * x

Подставляя в это уравнение значения х, получим уточнённые значения у_х.

Среднее значение у:

у_ср = Σy / n = 508 / 7 = 72,57

Рассчитав необходимые значения в таблице, можем найти коэффициент корреляции:

r = (Σxy – Σx * Σy / n) / [(Σx² – (Σx)² / n) * (Σy² – (Σy)² / n)]^1/2

r = (22418 – 308 * 508 / 7) / [(13664 – (308)² / 7) * (37042 – (508)² / 7)]^1/2 = 0,4705

Коэффициент детерминации равен:

d = r² = (0,4705)² = 0,2214

Для расчёта корреляционного отношения найдём три вида дисперсий.

σ²_у = Σ(у – у_ср)² / n = 175,71 / 7 = 25,10

σ²_Ух = Σ(у – у_х)² / n = 137 / 7 = 19,57

Корреляционное отношение равно:

η = [(σ²_у – σ²_Ух) / σ²_у]^1/2 = [(25,10 – 19,57) / 25,10]^1/2 = 0,4694

Таким образом, связь между выручкой и расходами на рекламу средняя, т.к. коэффициент корреляции и корреляционное отношение входят в интервал от [0,3; 0,7].