Метод замены переменной.
Т3:
Если ф-ция
имеет первообразную на
,
а ф-ция
определена, дифференцируема на
и взаимнооднозначно отображает
,
тогда ф-ция f(x)
интегрируема и имеет место формула:
(формула замены переменных).
Зам-ие1:
(Схема
применения).
Пусть дан
Зам-ие2: Ф–ция должна быть дифференцируемой и взаимнооднозначной. Это значит, что с одной стороны ф–ция должна быть непрерывной, с др. стороны (т.к взаимнооднозначна биективна инъективна строго монотонна) В качестве ф–ции можно брать любую удобную непрерывную на промежутке строго монотонную ф–цию.
Сл-ие1:
Если f(x)
имеет первообразную F(x),
тогда
.
Сл-ие2:
Если f(x)
имеет первообразную F(x),
тогда
18.Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции.
Пусть на 
определена и огр. 
.
Произвольным образом разобьем
точками 
.
На каждом 
произвольным образом выберем точку
.
Составим сумму, которую назовем
интегральной. 
,
где 
.
Будем увеличивать число точек деления
на части, добавляя новые к старым и
соблюдая условие при 
.
Если не зависимо от способа разбиения
на части и выбора точки 
,
то этот предел называют определенным
интегралом от f
на
и обозначают 
Если интеграл 
существует, то функция f
называется интегрируемой на
.
Сумма Дарбу.
Пусть на
определена и огр.
.
Произвольным образом разобьем
точками
.
Если f
огр. на
,
то она и огр. на 
,
т.е. 
и 
.
Составим суммы 
- верхняя сумма Дарбу, 
- нижняя сумма Дарбу.
- площадь ступенчатой фигуры, расположенная
внутри крив. трапеции.
-
площадь ступенчатой фигуры, внутри
которой расположена крив. трапеция.
Свойства сумм Дарбу:
При фиксированном способе разбиения сегмента на части
(за счет выбора точек
).
Доказательство:
Произвольно разобьем сегмент
на n
частей. Тогда 
Сложим
все эти неравенства: 
.
При увеличении числа точек деления сегмента на части
- возрастает, 
- убывает, т.е. (
)
– возрастающая последовательность,
(
)
– убывающая последовательность (при
).
Из данного свойства
вытекает, что множество всех нижних
сумм Дарбу {
}
– огран. сверху; а {
}
– огран. снизу. След-но, 
- нижний интеграл Дарбу, 
- верхний интеграл Дарбу.
При
фиксированном способе разбиения
сегмента 
,
.
Эти множества получаются за счет
различного выбора точек
.
Необх и достат усл сущ-ния опр-ного интеграла (Т. Дарбу):
Пусть на
определена и огр.
.
Для того, чтобы она была интегрируема
на сегменте
необходимо и достаточно что 
.
Классы интегрированных функций:
Теорема 1: Если опр. и непрер. на сегменте , то она интегрируема на этом сегменте.
Теорема 2 (интегрируемость монотонной функции): Если монотонна на сегменте , то она интегрируема.
Теорема 3: Если функция ограниченная и имеет конечное число точек разрыва на сегменте , то она интегрируема.
Свойства определенного интеграла:
Если функции f и g интегрируемы на сегменте ,
.Если f интегрируема на сегменте , то постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
.Если f интегрируема на сегменте и точка
,
то f
интегрируема на 
и 
,
причем 
.Если интегрируема на
и 
,
то 
.
Док-во:
Строим последовательность (
):
Перейдем к пределу
при
(по свойству перехода к пределу в
неравенствах для последовательностей).
Если и
интегрируемы
на
и 
,
то 
.Если интегрируема на и
,
то 
.Если и интегрируемы на и
,
то 
.Если интегрируема на и
;
и 
,
то 
.Если интегрируема на , то
- интегрируема на
и 
.
Теорема о среднем
1: Если
интегрируема на
,
то 
.
Доказательство:
1сл.
,
тогда по 9° 
2 сл.
,
.
3сл. a=b также выполняется.
Теорема о среднем
2: Если f
непрерывна на
,
то 
.
19.Опр-ный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть нам дана интегрируемая на .
По свойству
аддитивности определенного интеграла
(если f
интегрируема на 
,т.е.
такая,что 
,
то f
– интегрируема на
и
причем 
).
Если 
,
то 
– определяем единственным образом.
Следовательно, 
- интеграл с переменным верхним пределом.
Свойства интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Непрерывность.
Если
интегрируема на
,
то функция 
непрерывна на
.
Докажем это:
Возьмем произвольную
точку 
и докажем, что Ф непрерывна в точке 
.
Дадим приращение
.
Inf
f(x)
,
но 
и 
Следовательно, 
- не зависит ни от х0,
ни от 
.
- ограниченная.
Вывод: б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции Ф. Значит, функция Ф непрерывна в точке х0.
Теорема 2. Дифференцируемость.
интегрируема на [a,b]
непрерывна в точке
,
то функция
дифференцируема в точке
,
причем 
.
Следствие: если
непрерывна на [a,
b],
то
дифференцируема на [a,
b]
и 
,
что означает, что Ф - одна из первообразных
для функции f.
Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема : Если f
– непрерывна на [a,
b],
то 
,
где F
– одна из первообразных для f
на [a,
b].
F(x)=Ф(x)+С - свойство неопределенного интеграла.
Пусть x=a F(a)=0+C, т.е. С=F(a)
Пусть x=b
.