Свойства общих индексов

Синтетические Аналитические

Соединение (агрегирование) в целое Позволяют определить факторы

разнородных единиц статистической влияющие на изменение

изучаемого показателя.

Схема 5. Группировка общих индексов по их свойствам.

Индивидуальные индексы принято обозначать i, а общие индексы - I.

Индивидуальные индексы физического объема реализации товаров i оп-

v ^q

ределяется по формуле:

U = ^, 26

^q q„

где q , q - количество продажи отдельной товарной разновидности в теку­щем и базисном периодах натуральных измерителях соответственно.

Для определения индивидуальных индексов цен i применяется формула:

i, = ^Р, 27

^Р Р„

где p , p - цены за единицу товара в текущем и базисном периодах.

Агрегатная форма общего рынка.

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы.

Свое название они получили от латинского слова «aggrega», что означает «присоединяю». В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемых ста­тистических совокупностей.

Достижение в сложных статистических совокупностях сопоставимости разнородных единиц осуществляется введение в индексные отношения спе­циальных сомножителей индексируемых величин. В литературе такие со­множители называются соизмерителями. Они необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц (метры, штуки) статистиче­ской совокупности к однородным показателям. При этом в числителе и зна­менателе общего индекса изменяется лишь значение индексируемой величи­ны, а их соизмерители являются постоянными величина и фиксируются на одном уровне (текущего или базисного периода). Это необходимо для того, чтобы на величине индекса сказывалось лишь влияние фактора, который оп­ределяет изменение индексируемой величины.

Основным условием применения в статистике агрегатных индексов явля­ется наличие информации о поступлении или реализации товаров в нату­ральных измерителях и ценах единице товара.

При определение общего индекса цен в агрегатной форме I в качестве соизмерителя индексируемых величин p , p могут применяться данные о количестве реализации товаров в текущем периоде q . При умножении q на индексируемые величины в числители индексного соотношения образуется

п

значение ^р *q , т. е. сумма стоимости продажи товаров в текущем пе­риоде по ценам того же текущего периода. В знаменателе индексного отно-

п

шения образуется значение ^р *q , т. е. сумма стоимости продажи това-

/-1 ¹¹

ров в текущем периоде по ценам базисного периода.

Агрегатная формула такого общего индекса имеет следующий вид:

n

и* Я и

Т . 28

р "

о,* Я»

i=1

Расчет агрегатного индекса цен предложен немецким ученым Г. Пааше. Поэтому приведенный выше индекс принято называть индексом Пааше

При другом способе определения агрегатного индекса цен в качестве со- измерителя индексируемых величин p , p могут применяться данные о ко­личестве реализации товаров в базисном периоде _q . При этом умножение q на индексируемые величены в числителе индексного отношения образу-

п

ется значение ^p *q т. е. сумму стоимости продажи товаров в базисном

i=1 ^Ъ

периоде по ценам текущего периода. В знаменателе индексного отношения

п

образуется значение ^р * q , т. е. сумма стоимости продажи товаров в ба­зисном периоде по ценам того же базисного периода.

Расчет агрегатной формы такого индекса предложен немецким эко­номистом

Э. Ласпейресом. Формула расчета имеет следующий вид:

n

Т = ^ . 29

р "

1*Р₀₁*Я₀₁

i=1

Индексы Ласпейреса и Пааше характеризуют различные качественные особенности изменения цен.

Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде. Индекс Ласпейреса пока­зывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реали­зованных в базисном периоде.

Применение индексов Пааше и Ласпейреса зависит от цели исследования. Если анализ проводится для определения экономического эффекта от изме­нения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, то применяется ин­декс Пааше, который отображает разницу между фактической стоимостью продажи товаров в отчетном периоде и расчетной стоимостью продажи этих же товаров по базисным ценам.

Если целью анализа является определение объема товарооборота при про­даже в предстоящем периоде такого же количества товаров, что и в базисном периоде, но по новым ценам, то применяется индекс Ласпейреса.

Вопросы для самооценки.

1. Основой индексного метода является:

а) переход от натурально вещественной формы выражения товарных масс к денежным измерителям,

б) устранение неточностей при группировке товаров по качественно одно­родному признаку.

2. Синтетические свойства индексов состоят:

а) в агрегировании,

б) в устранении факторов влияющих на изменение показателя.

3. Для вычисление индекса нужно произвести сопоставление:

а) не менее двух величин,

б) не более двух величин.

4. Фирма «Грант» в январе и марте 1999 года продавала в своем магазине фрукты, изменение количества продаж и цен указаны в таблице 8:

Таблица 8

Наименова­	Единица	Январь 1999		Март	1999
ние	измерения	г.		г.
Товара		Цена	Коли чест- во	Цена	Коли чест- во
Лимоны	Килограмм	21	1000	28	2000
Апельсины	Килограмм	15	2000	20	3000
Яблоки	Килограмм	10	1000	15	1500

Какой статистический индекс нужно применить для определения экономиче­ского эффекта от изменения цены отчетном периоде (март) по сравнению с базисным (январь):

а) индекс Ласпейреса,

б) индекс Пааше.

Ответы на вопросы смотрите в приложении 1. 2.9. Меры связи

Изучение взаимосвязей на рынке товаров и услуг - важнейшая функ­ция работников коммерческих служб: менеджеров, коммерсантов, эко­номистов. При этом важно, изучение связи показателей коммерческой дея­тельности не только для установления факта наличия связи. В целях научно­го обоснованного прогнозирования и рационального управления механизмом социально-экономических отношений важно выявленным связям придавать математическую определенность. Без количественной оценки закономер­ности связи невозможно доводить результаты экономических разрабо­ток до такого уровня, чтобы они могли использоваться для практиче­ских целей.

Исследователей часто интересует, как связаны между собой переменные в группе. Связь между переменными можно выразить графически диаграм­мой рассеивания. На диаграмме рассеивания каждый объект обозначается точкой (рис. 4).

Надо поставить вопрос о более точном смысле термина - «связь». Суще­ствует ли соответствие большего значения X большим или малым значениям тех же объектов по Y или систематического распределения по парам с боль­шими и малыми значениями не наблюдается.

Y 2 1 0

-Ф- + + +

+ + + + + + + ♦ ♦ +

100 200 300 400 500 600

Рис. 3. Диаграмма рассеивания.

X

Положение объекта относительно остальных в выборке по X и Y, определя­ется средним двух распределений, проявляется в величинах и знаках откло­нений (X - X) * (у. - У) соответственно. Если объект имеет высокий уро­вень по обеим переменным, то произведение (X, ' X ) * (У_г - Y ) будет большим и положительным. Аналогично, если он относительно низок как по X, так и по Y, то (X_t - X) * (у. - У) тоже будет большим и положительным (произведение двух отрицательных чисел положительно). Если X и Y в ос­новном связаны прямо (т. е. Y = a₀ ⁺ ChX,> ^гД^е С1о>С1\ -некоторые постоянные числа) большие значения с большими, а малые - с малыми, то большинство произведений

(Xi - X) * (Y - Y) будет положительным: следовательно сумма этих произ-

n

ведений для всех объектов (Xi - X) * (у - 7)] будет большей и поло-

г= 1

жительной.

Если X и Y имеют обратную связь (большое X встречается с малым Y и наоборот), то многие объекты с положительными значениями (X_t - X), бу­дут тяготеть к отрицательным значениям (Y, - Y), а отрицательные значения (Xi - X) - к положительным (Y, - Y). В этом случае произведения (X_t - X)

n

• (Y_t■ - Y) будут, как правило, отрицательными. Следовательно, ^ (X, -

г= 1

• (Y, - Y) будет отрицательной когда X и Y связаны обратной связью.

Если X и Y не имеют систематической связи (большие X сочетаются с малыми Y столь же часто, как и с большими Y , и то же самое справедливо для малых X), то среди объектов с большими положительными значениями ( Xi - X), у некоторых (Y, - Y) будут положительны, а у других - отрица­тельные. При преобразовании произведений (X, - X) * (Y, - Y) одни со­множители станут положительными, а другие - отрицательными.

n

Сумма произведений: ^ (X, - X) * (Y, ~ должна балансировать между

Z=1

положительными и отрицательными значениями и поэтому будет довольно близкой к нулю.

n

Таким образом, мы имеем величину ^ (X, - X) * (у - Y), которая ве-

i=i

лика и положительна, когда X и Y сильно связаны прямой зависимостью, близка к нулю в случае отсутствия связи между X и Y, и велика и отрица­тельна, когда X и Y сильно связаны обратной связью. Однако эта сумма про­изведений отклонений не является точной обобщенной мерой связи, потому что ее величина в первую очередь зависит от числа пар значений участвую­щих в подсчете. В реальных исследованиях часто встречаются выборки раз­ного объема, поэтому надо уметь измерять связь вне зависимости от объема. Простое усреднение позволяет достигнуть этого. В результате получим вы­ражение для определения меры связи между X и Y в следующем виде:

п

s = — > ³⁰

где Xi, Yi - значение варианты, X, Y - среднее значение варианты, n - коли­чество элементов общей совокупности.

Величина полученная в формуле (30) является мерой связи и называется ковариацией, обозначается £ . Заметим, что ковариация X или Y самим

собой это просто дисперсия.

Вычитание значений X и Y из соответствующих средних сделает значение S независимым от средних. Чтобы избавить меру связи от влияния стан­дартных отклонений двух групп значений, надо разделить £ на g_x, £. В

результате получим меру связи X и Y которая называется коэффициентом корреляции Пирсона и обозначается у . Формула у имеет следующий вид:

' xy

" £

31

Txy С* * С* '

Sx Sy

S_x, £ - дисперсии X и Y, £ - ковариация X и Y.

Уравнение 31 определяет , но не достаточно удобно для вычислений. Приведем более удобное для вычислений уравнение.

n

n

S

,32

xy

г=i

Гх

Sx Sy

n

Xr^X )²]/

n

ill(Yry )²]/

*

n

n

V

i=l

i=l

где в числитель подставляем ковариацию, в знаменатель - дисперсии X и Y, X;, Yi - значение варианты, X, Y - среднее значение вариант, n - количество элементов совокупности.

n * Е( Xi-x )*(Y-Y)]

i=l

у

xy

n

[n * ^(Y-y)¹]

i=l

ll

V

Заметим, что 1/n можно выделить в качестве сомножителя из двух членов уравнения.

n

33

n

[n * E(XrX)²]

i= l

где Xi>Yi - значение варианты, X, Y - среднее значение вариант, n - коли­чество элементов общей совокупности.

Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до 1. Приведем примеры отражающую силу связи при разных зна­чениях коэффициента корреляции (таблица 9).

Таблица № 9.

Интерпретация значений коэффициента корреляции у

xy

Величина у xy	Описание линей­ной связи	Диаграмма рассеи­вания
1	2	3

+1,00	Строгая прямая связь	1 Y	• • ■ • • #
		▲ . • • •. • • • • • • • • • • •• Ш Y • • •
Около +0,5	Слабая прямая связь	Y•••••
		к X	j*-. • *• • * % Л • • 4v*> • vVU^
0,00	Нет связи (т. е. S - ковариация Y и X равна ну­лю)	Y 9 X
Около - 0,50	Слабая обратная связь	Y 1 X	1 • ь
			• • • • • ►

-1.00		Y
	Строгая обратная
	связь
		X

Непараметрические показатели связи.

Наряду с параметрическими показателями связи для измерения корреля­ционной зависимости используются непараметрические показатели связи ( показатели качественного характера, без численного выражения). Одним из них является коэффициент корреляции Г. Фехнера, который имеет следую­щий вид:

₌ ^с ~^н 34

^Гф с + я '

где С - число совпадений одинаковых, как положительных, так и отрица­тельных, знакоразностей (X, - X) и (Y_; - Y), H - число несовпадающих зна­ков.

Как и пирсоновский коэффициент корреляции коэффициент корреляции Фехнера может принимать значение от -1 до 1. При положительной корреля­ции он имеет положительный знак, при отрицательной - отрицательный знак.

Вопросы для самооценки.

1 Достаточно ли установить, что между какими либо социально - экономическими явлениями существует связь, для того чтобы применять на практике полученные результаты:

а) достаточно,

б) недостаточно.

2. Для чего в формулу ковариации вводится осреднение:

а) чтобы избавиться от попарного сопоставления значений,

б) чтобы получить формулу дисперсии.

2. Коэффициент корреляции Пирсона имеет значение в пределах:

а) (0,1)

б) (-1,0)

в) [-1,1].

2. Коэффициенты корреляции могут устанавливать меру связи между при­знаками заданными:

а) только параметрически,

б) только не параметрически,

в) параметрически и не параметрически. Ответы на вопросы смотрите в приложении 1.