2.5 Средние величины. Общие принципы их применения

Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц сово­купности, обусловленные случайными обстоятельствами.

Например, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух отдель­ных работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравне­ния работников может быть не типичной для этих предприятий. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т. е. сколько в среднем по­лучает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает не­обходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики со­вокупности.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних вели­чин.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учи­тывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна, прежде всего, рассчитываться по однород­ной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяют полу­чить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обоб­щающих показателей (таких показателей которые были бы в наличии у каж­дого элемента статистической совокупности).

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчислений и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: сте­пенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметиче­ская, средняя квадратическая, гармоническая. Общая формула вычисления этих средних имеет следующий вид:

п

V т

m

3

X =

hXi /■=1

, где

n

X - значение варианты, n - количество вариант. В зависимости от m опре­деляется вид средней, приведем зависимости вида средней от степени m: при m = 1 - средняя арифметическая, при m = 0 - средняя геометрическая, при m = -1 - средняя гармоническая, при m = -2 - средняя квадратическая.

Пример: при вычислении средней арифметической то есть когда m = 1, фор-

п

Ел,-

/=1

мула 3 примет следующий вид: X =

К n

Вопрос о том, какой вид средней величины применить в отдельном слу­чае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, опре­деляется материальным содержанием изучаемого явления, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешива­нии. Только тогда средняя применима правильно, когда получают величины, имеющие реальный экономический смысл.

Введем следующие понятия и обозначения: признак, по которому нахо­дится средняя величина, называется осредняемым признаком и обозна­чается x ; величина осредняемого признака у каждой единицы совокуп­ности называется индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначается как х, X' X, •••, X; частота - это повторяемость инди­видуальных значений признака, обозначается буквой f.

_ 1

х = 1

Средняя арифметическая величина - наиболее распространенный вид средней, при m = 1.

п

^Xi Е^х< + + +

/ = 1 — i=\ _ .Xl Х2 ''' Хп

4

п п п

где х - среднее арифметическое, х_г - значение варианты, n- количество вари­ант.

Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду рас­пределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака, и подсчитав число случаев повто­рения каждого из них, мы получим следующий вид для формулы среднего арифметического.

n

5

х =

_ xj+xj+xj, tfi ^fi^+f

i=1

где х - среднее арифметическое, x_t - значение варианты, n- количество вари­ант, f - частота варианты (количество повторений значения варианты в об­щей совокупности).

В ряде случаев роль частот играют какие-либо другие величины. Частоты отдельных вариант могут быть выражены не только абсолютными ве­личинами, но и относительными величинами - частостями, обозначае­мыми щ. Частости можно вычислить по следующей формуле:

W, = - *100^{, 6}

I/,

z —1

где f - частота варианты, причем частости можно вычислять в процентах

или долях еденицы.

Основные свойства средней арифметической:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака x в n раз величина средней арифметической не измениться. Если все частоты разделить или умножить на какое либо число, то величина средней не измениться. Это свойство дает возможность частоты заменить удель­ными весами, называемыми частостями, а также, когда частоты всех вариант одинаковы, вычислять средние по формуле простой средней арифметической. Указанное свойство важно тогда, когда абсолютные числа - частоты не известны, а известны лишь удельные веса, т. е. от­носительные величины структуры совокупности. Тогда средняя вычис­ляется так:

n

HXiWi

/=1

7

х =

100

если Wi - в %;

или

п

HXiWi> ⁸

/=1

если щ - в долях единицы.

Следствие: При вычислении средних величин можно вместо абсолютных величин часто брать относительные (в долях или процентах).

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вы­несен за знак средней:

Кх = K X. 9

Из этого свойства следует, что если все значения x сократить их общий множитель K, то и средняя уменьшится в K раз:

2. Средняя сумма (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних х ± у = х + у .

3. X =

   Если x = c, где c - постоянная величина, то х = c = c.

Приведем в качестве примера вычисления среднего арифметического расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек (таблица 2):

Таблица 2

№№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Воз­	18	18	19	20	19	20	19	19	19	20
раст

Средний возраст рассчитаем по формуле средней арифметической величены:

— 18 + 18 + 19 + + 20 191

X = = = 19,1 года

10 10

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения (таблица 3):

Таблица 3.

Возраст, X лет	18	19	20	Всего
Число сту­дентов	2	5	3	10

В результате группировки получаем новый показатель - частоту, указы­вающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы можно рассчитать по формуле взвешенной средней:

— 18*2 + 19*5 + 20*3 191

X = = = 19.1

2 + 5 + 3 10

Для характеристики структуры совокупности применяются структурные средние. К таким показателям относятся мода и медиана. Модой (M₀) назы­вается чаще всего встречающийся вариант. Мода представляет наиболее типичное значение изучаемой совокупности. Мода широко используется в коммерческой деятельности при изучении покупательского спроса, регистра­ции цен.

Приведем пример (таблица 4):

Таблица 4

Размер обуви	Число купленных пар
1	2
34	2
35	10
36	20
37	88 Мода
38	19
39	9
40	1

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают цен­тральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интерва­ла который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала на­до найти то значение признака которое является модой.

Решение вопроса состоит в том, чтобы в качестве моды выявить середину модального интервала. Такое решение будет правильным лишь в случае пол­ной симметричности распределения, либо тогда, когда интервалы, соседние с модальными, мало отличаются друг от друга по числу случаев. В противном случае середина модального интервала не может рассматриваться как мода. Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

М = у , • f_M. /V/,, ¹ 1 1

^{0 Л}Мо ^lMo (f _f \ ₊ (f _f

^J M„ ^J M„-1 ^J M„ ^J M„+1

где x_M - нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала; f - частота, соответствующая модальному интервалу; f

^J Мо ^J Mo"¹

- частота, предшествующая модальному интервалу; f ^ _i - частота интер­вала следующая за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп, но является числом определенным - в практике имеет самое широкое примене­ние. Медиана (Me) - это величина, которая делит всю совокупность упоря­доченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значе­ния варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая - большие.

Пример: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 - ряд признаков, медианой является число 5. Для ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке убывания или возраста­ния) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Если в ряду имеется четное количество членов, то медиана будет вычис­ляться по следующей формуле:

jyjg _ XMe Хме+1 J2

2 '

где XMe ^и XMe, 1 смежные варианты.

Пример: 1,3,4,9,7,5, ранжируем ряд, получим: 1,3,4,5,7,9. Медианой будет следующее значение (4+5)/2 = 4,5.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы сле­дующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; опре­деляем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где на­копленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то фор­мула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

п

i=\

. . о Sbde-l , _

ме - Л\., + / 13

f

Me n

I/,

где Хме ~ ^нижняя граница медианного интервала; полу- сумма частот

ряда; S_Me-\ ~ ^сУ^мма накопленных частот, предшествующих медианному ин­тервалу; f - частота медианного интервала.

Me

Медиана ряда наблюдений может быть очень далека от его типичной ве­личины и в действительности может не приближаться ни к одному из наблю­даемых объектов. Но поскольку медиана является серединным значением, это делает ее смысл вполне ясным.

Медиана находит практическое применение вследствие особого свойства, сумма отклонений членов ряда от медианы является, наименьшей величиной.

n

2(X -Me) = min. 14

/=i '

Это свойство медианы находит широкое применение в маркетинговой деятельности.

Величины, приходящиеся на одной четверти и на трех четвертях расстоя­ния от начала ряда, называются квартилями, на одной десятой - децилями, на одной сотой - процентилями.

При статистическом изучении правильно выбранная средняя вели­чина обладает следующими свойствами:

1. Если в индивидуальном признаке явления есть какая-либо типичность, то средняя ее обнаруживает, но она учитывает и влияние крайних значений.

2. Если х, Me, Mo совпадают, то данная группа симметрична. Me < x при немногочисленной группе с очень высокими числами и х <Me, если нет очень больших чисел и данные концентрируются.

3. Если совокупность неоднородна, то мода трудно определяется.

Mo < х, если имеется немногочисленная группа с высокими числами и Mo отчетливо выражена при однородности группы.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокуп­ности в статистике называется вариацией признака. Она возникает из-за того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по разному сочетаются в каж­дом отдельном случае.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин вариация произошел от латинского variatio - изменение, ко­леблемость. Под вариацией в статистике понимают такие количествен­ные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случай­ную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимо­сти изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Напри­мер, изучая силу и характер вариации в выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количест­венном, а иногда и в качественном отношении, а это значит можно оценить насколько характерна средняя величина.

Степень близости данных отдельных единиц X _t к средней измеряется

рядом абсолютных и относительных средних показателей.

Наиболее простой из этих показателей - размах вариации, определяемый как разность между наибольшим _X и наименьшим _X значениями вари­антов:

^R = X - X , 1⁵

-Ул. max -Ул. min '

где _X - наибольшее значение варианта, _X - наименьшее значение ва­рианта.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, ис­пользуют среднее линейное отклонение: d, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности и вычисляется по формуле:

п

_ Кх-*)

d = — , где 16

n

Xi - значение варианта, X - среднее значение варианта, n - количество ва­риантов.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дис­персии. Дисперсия является средним квадратом отклонений, возведенных в квадрат:

и 2

₂

8= - , iv

п

где Xi - значение варианта, X - среднее значение варианта, n - количество вариантов.

Корень квадратный из дисперсии среднего квадрата отклонений представ­ляет собой среднее квадратическое отклонение:

8 = № ■ 18 Среднее квадратическое отклонение вычисляется по следующей формуле:

п

2 , ₁₉

n

где Xi - значение варианта, X - среднее значение варианта, n - количество вариантов.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить рас­четы.

1. Если из всех значений вариант отнять какое-либо постоянное число А, то среднее квадратическое отклонение не изменится

S² = X 2 . 20

^и ° (хг^А'>

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число A, то

" ,2 средний квадрат отклонений уменьшиться от этого в A , а среднее квадрати­ческое отклонение в A раз:

8\ =5²' А²- 21

3. Если вычислить средний квадрат отклонений от любой величины A, кото­рая в той или иной степени отличается от средней арифметической х, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений fi , взятого от средней арифметической.

5\ >Sl 22

При этом больше на вполне определенную величину - на квадрат разности

2

между средней и этой условно взятой величиной, т. е. на (Х—Д) ■

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую со­вокупность на группы, однородные по признаку - фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дис­персий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности. Вычисляется общая дисперсия по формуле:

Sl=- ; > 23

X/,

где X, - значение варианта, X - среднее значение для всей изучаемой со­вокупности, n - количество вариант, f .- частота варианты (повторяемость

значения признака).

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием прзнака-фактора, положенного в осно­ву группировки. Она характеризует колеблеммость групповых (част­ных) средних Xi около общей средней X₀ • Межгрупповая дисперсия вы­числяется по формуле:

n

₂ КХ-Хо)²/,

; , 24

X/,

i=1

где X, - средняя по отдельным группам, X₀ - средняя общая, , f .- числен­ность отдельных групп

Средняя величина внутригрупповых дисперсий характеризует слу­чайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки. Определяется она по формуле:

п

-_г ZS'.f,

Я = — , 25

IS г п '

X/,

i=\

где 8 ~ дисперсия отдельной группы, у .- численность отдельных групп, п - количество вариант всей совокупности.

Вопросы для самооценки.

1. Среднее арифметическое это:

а) обобщающий показатель, который выражает величину признака, отнесен­ную к единице совокупности,

б) квадрат отклонения каждой варианты ряда - Xi от значения первой вари­анты ряда - _X .

2. Некая фирма X, имеющая сеть мелкооптовых магазинов, решила провес­ти статистическое исследование с целью: выявить наиболее часто встречаю­щийся тип покупателя. Какой статистический показатель удовлетворяет цели исследования:

а) мода,

б) медиана,

в) среднее арифметическое.

3. Отделом социальной защиты населения были получены средства предна­значение для обеспечения малоимущих жителей города Томска лекарствен­ными препаратами, но не достаточные, для того чтобы закупить все требуе­мые препараты. При помощи, какой величины можно установить, те группы препаратов, которые являются наиболее востребованными:

а) мода,

б) медиана.

4. Отдел медицинского страхования выявил, что из 20 граждан получивших полис обязательного медицинского страхования в течение 1998-1999 года обращались за помощью в медицинские учреждения 20 из них, но с разной частотой (таблица 5).

Таблица 5

№ Гражданина	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	11	12	1
										0			3
Количество обра­	5	5	5	5	6	6	6	2	2	2	3	3	3
щений
в медицинское уч-
реждение

Задача состоит в том, чтобы вычислить среднее количество обращений одно­го гражданина в медицинское учреждение. Выберите, какая формула наибо­лее оптимально подходит для расчета:

n

а) х = ⁱ⁼¹

If

i=1

П

_ /=1

б) X =

n

5. Межгрупповую дисперсию вычисляют, для того чтобы:

а) учесть вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака - фактора, положенного в основу группировки.

б) учесть вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной со­вокупности.

Замечание: при изучении этого раздела особенно обратите внимание на свойства дисперсии, среднего арифметического, медианы.

Ответы на вопросы смотрите в приложении 1.

2.6. Понятие абсолютной и относительной величины

Изучая массовые общественные явления, статистика в своих выводах опирается на числовые данные, полученные в конкретных условиях места и времени. Результаты статистического наблюдения регистрируются, прежде всего, в форме первичных абсолютных величин. Например, основная масса экономико-хозяйственных абсолютных показателей фиксируется в первич­ных Уютных документах. Абсолютная величина отражает уровень разви­тия явления.

В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах (человеках, рублях, штуках, кило­ватт-часах, человеко-днях и человеко-часах и т. д.), в отличие от мате­матического понятия абсолютной величины могут быть как положи­тельными, так и отрицательными (убытки, убыль, потери и т п.).

С точки зрения конкретного исследования совокупность абсолютных ве­личин можно рассматривать как состоящую из показателей индивидуаль­ных, характеризующих размер признака y отдельных единиц совокупности, и суммарных, характеризующих итоговое значение признака по определен­ной части совокупности. С точки зрения отдельного предприятия числен­ность занятых на нем будет суммарной величиной, а численности работаю­щих в каждом цехе — величинами индивидуальными. Суммарные абсолют­ные величины часто получают путем специальных расчетов (перспективная численность населения, ожидаемый объем производства, плановые задания по выпуску продукции и т. д.).

Абсолютные показатели — это основа всех форм учета и приемов коли­чественного анализа.

Абсолютные величины

Моментные

Показывают наличие явления на определенный момент, дату

Интервальные

Показывают итоговый накопленный результат за период в целом

Схема 3. Группировка абсолютных величин по времени сбора данных о явлении.

По своему содержанию абсолютные величины могут характеризовать как относительно простые совокупности: численность населения на предпри­ятии, количество товара определенного вида, так и совокупности достаточно сложные: стоимость всей продукции предприятия или отрасли промыш-

ленности, объем розничного товарооборота, величину валового националь­ного продукта, национального дохода и т, д.

Показатели, используемые в экономико-статистическом анализе, должны иметь реальный смысл, характеризовать определенные категории и понятия и рассчитываться на основе теоретического анализа явления. Поэтому в каж­дой конкретной области приложения статистики разрабатывается своя сис­тема статистических показателей.

Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между от­дельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными показателями. Эти функции выполняют определяе­мые на основе абсолютных величин относительные показатели.

Относительная величина в статистике — это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин. Так как многие абсолютные величины взаимосвязаны, то и относи­тельные величины одного типа в ряде случаев могут определяться через от­носительные величины другого типа.

Основное условие правильного расчета относительной величины— сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей ме­жду изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относи­тельные показатели — всегда величины производные, определяемые в форме коэффициентов, процентов, промилле, продецимилле и т.п. Однако нужно помнить, что этим безразмерным по форме показателям может быть, в сущ­ности, приписана конкретная, и иногда довольно сложная, единица измере­ния. Так, например, относительные показатели естественного движения на­селения, такие как коэффициенты рождаемости или смертности, исчисляе­мые в промилле (0/00), показывают число родившихся или умерших за год в расчете на 1000 человек среднегодовой численности, относительная величи­на эффективности использования рабочего времени — это количество про­дукции в расчете на один отработанный человеко -час и т. д.

Вопросы для самооценки.

1. Предположим, что в налоговой инспекции г. Томска работают 3 тысячи человек, причем существует деление этого учреждения на подразделения. В отделе по контролю: за муниципальными предприятиями работает 1000 человек, за частными предпринимателями - 1000 человек, за АО (акцио­нерными обществами) - 1000 человек.

а) Чему равна, для этого учреждения, суммарная абсолютная величина чис­ленности работников,

а) Чему равны, для этого учреждения индивидуальные абсолютные величи­ны численности работников. Ответьте на вопросы и сделайте пояснения.

2. ГАИ (государственная автодорожная инспекция) проводила исследование по регистрации правонарушений на автомобильных дорогах Томской об­ласти с 01.01.1999 по 30.04.1999 года и получила следующие данные (указаны в таблице 6).

Таблица 6 .

Период, за который были собра­	Число нару­
ны данные	шений
1	2
С 01.01.1999 г. по 31.01.1999 г.	100
С 01.02.1999 г. по 28.02.1999 г.	125
С 01.03.1999 г. по 31.03.1999 г.	250
С 01.04.1999 г. по 30.04.1999 г.	115

К какому виду абсолютных величин относятся зарегистрированные данные:

а) к моментным абсолютным величинам,

б) к интервальным абсолютным величинам.

3. Основной функцией относительной величины является:

а) дать полное представление об изучаемом явлении, показать его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени,

б) отразить результаты, зарегистрированные при статистическом наблюдении в конкретных единицах (человеках, рублях, штуках, киловатт-часах, челове­ко-днях и человеко-часах и т. д).

Ответы на вопросы смотрите в приложении 1.

2.7. Виды и взаимосвязи относительных величин

Относительные величины образуют систему взаимосвязанных статистиче­ских показателей.

Относительные величины

/ 1 \

ОВС ОВП ОВК

Схема 4. Группировка относительных величин по выражению количе­ственных соотношений.

На схеме 4 изображены основные группы относительных величин, которые при специализации задачи могут делиться на подгруппы.

ОВС (относительная величина динамики). Характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.

ОВП (относительная величина планового задания) рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде.

Относительная величина планового задания также может быть представ­лена в трех формах коэффициента (индекса) планового роста, плановых тем­пов роста либо прироста в %.

ОВК (относительные величины координации). Это величины, которые представляют собой одну из разновидностей показателей сравнения, они применяются для характеристики соотношения между различными частями статистической совокупности и показывают, во сколько раз сравниваемая часть совокупности больше или меньше части, которая принимается за осно­вание или базу сравнения, т. е. они характеризуют структуру изучаемой со­вокупности.

Вопросы для самооценки.

1. Например, рассмотрим динамику закупки товаров в городе Уральске на 1990, 1991 год (данные приведены в таблице 7).

Таблица 7.

Год закупки	1990	1991
Перечень продуктов
Соль	1000 т.	2000 т.
Спички	100 млн. шт.	200 млн. шт.
Масло	1000 л.	2000 л.
Крупы	1000 т.	2000 т.

Требуется рассчитать соотношение товаров, в среднем, закупленных в 1991 году по отношению к 1990:

а) увеличилась в два раза или на 100%,

б) увеличилась в два раз или на 200%.

2. На начало года численность специалистов с высшим образованием, за­нятых в ассоциации «Торговый дом», составила 53 человека, а численность специалистов со средним специальным образованием - 106 человек. Приняв за базу сравнения специалистов с высшим образованием, рассчитайте отно­сительную величину координации.

а) 106:53 = 2,0:1,0, т. е. на двух специалистов со средним специальным обра­зованием приходится один специалист с высшим образованием.

б) 53:106 = 1,0: 2,0, т. е. на одного специалиста с высшим образованием при­ходится один специалист со средним специальным образованием.

Ответы на вопросы смотрите в приложении 1. 2.8. Индексы

Большое значение в статистических исследованиях имеет индексный ме­тод. Полученные на основе этого метода показатели используются для харак­теристики развития анализируемых показателей во времени, по территории, изучение структуры и взаимосвязей, выявление роли факторов в изменении сложных явлений.

Индексы широко используются в экономических разработках государст­венной и ведомственной статистики.

Статистический индекс - это относительная величина сравнения слож­ных совокупностей и отдельных единиц. При этом под сложной совокупно­стью понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Основой индексного метода при определении изменений в производ­стве и обращении товаров является переход от натурально- вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (де­нежным) измерителям. Именно посредствам денежного выражения

стоимости отдельных товаров устраняется несравнимость их потребитель­ских стоимостей и достигается единство.

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изу­чаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные (элемен­тарные) и общие.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных единиц статистической совокупности.

Общие индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совмест­ного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность.

Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических процессов сравниваемая величина принимается за текущий период, а величина, с кото­рой производится сравнение за базисный период.

Основным элементом индексного отношения является индексируе­мая величина. Под индексируемой величиной понимается значение при­знака статистической совокупности, изменение которого является объ­ектом изучения. Так, при изучении изменения цен индексируемой величи­ной является цена единицы товара p. При изучении изменения физического объема товарной массы в качестве индексируемой величины выступают дан­ные о количестве товаров в натуральных измерителях q.