Расчет теоретической нормальной кривой распределения
При расчете теоретических частот miT за оценку математического ожидания µ и среднего квадратического отклонения σ нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и S, т.е. полученные выше ; S=0,169.
Теоретические частоты находятся по формуле:
miT =n·pi,
где n – объем выборки (число наблюдений),
pi - вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в i–й интервал.
Теоретические частоты находятся путём округления значения n·pi, но так, чтобы сумма теоретических частот была равна сумме эмпирических, т.е. в нашем случае 100 (при необходимости округлять можно не по правилам).
Вероятность pi определяется по формуле:
,
где
- интегральная функция Лапласа –
находится по таб. 1 Математической статистики для
и
Напомним, что Ф(t) – функция нечётная , т.е. Ф(-t)=- Ф(t)
Т.к. мы строим теоретическую кривую нормального распределения, то возможными значениями X должна быть вся числовая ось. Поэтому крайние значения ti нужно заменить на -∞ и +∞ и учесть, что Ф(+∞)=1, Ф(-∞)= - Ф(+∞) = - 1
Для вычисления вероятностей pi и теоретических частот miT составим таблицу 1.5
Таблица 1.5
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Интервалы
|
mi |
t1i |
t2i |
Ф(t1i) |
Ф(t2i) |
pi |
n·pi |
miT |
|
4,97 - 5,08 4,08 - 5,19 5,19 - 5,30 5,30 - 5,41 5,41 - 5,52 5,52 - 5,63 5,63 - 5,74 5,74 - 5,85 |
2 3 12 19 29 18 13 4 |
-∞ -2,28 -1,63 -0,98 -0,33 0,31 0,96 1,61 |
-2,28 -1,63 -0,98 -0,33 0,31 0,96 1,61 +∞ |
-1 -0,9774 -0,8969 -0,6729 -0,2586 0,2434 0,6629 0,8926 |
-0,9774 -0,8969 -0,6729 -0,2586 0,2434 0,6629 0,8926 1 |
0,0113 0,0403 0,1120 0,2072 0,2510 0,2098 0,1149 0,0537 |
1,13 4,03 11,2 20,72 25,10 20,98 11,49 5,37 |
1 4 11 21 25 21 12 5 |
0,09 0,36 1,00 1,91 2,27 1,91 1,09 0,45 |
|
100 |
- |
- |
- |
- |
1,000 |
- |
100 |
- |
Построим на графике
гистограммы (рис 1.1) теоретическую
нормальную кривую f(x). Для этого из
середины частных интервалов восстановим
перпендикуляр высотой
(таб. 1.5, последний столбец), где
.
На рис 1.4 концы этих перпендикуляров отмечены точками.
Рис.1.4. Гистограмма относительных частот интервального ряда распределения и теоретическая кривая нормального распределения
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает соответствие между теоретическим и эмпирическим распределениями.
В нашем примере видна согласованность этих кривых.