Международный консорциум «Электронный университет»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Евразийский открытый университет

Кафедра математической статистики и эконометрики

В.С.Мхитарян, Л.И.Трошин,

Ю.Н.Миронкина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ОЦЕНИВАНИЮ ПАРАМЕТРОВ

И ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗЫ

О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Москва 2005

В.С.Мхитарян, Л.И.Трошин, Ю.Н.Миронкина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОЦЕНИВАНИЮ ПАРАМЕТРОВ И ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ – М: Издательство МЭСИ, 2005 – 62 с.

Настоящие методические указания предназначены для выполнения типового расчёта по оцениванию параметров и проверке гипотезы о нормальном распределении по курсам «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математическая статистика», читаемого для студентов экономических специальностей.

© В.С.Мхитарян, 2005

© Л.И.Трошин, 2005

© Ю.Н.Миронкина, 2005

© Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………..…………..……………4

1. Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения………….…..….………………..…………..5

1. Построение интервального вариационного ряда распределения…………………..…………..……………...6

2. Вычисление выборочных характеристик распределения…………..…..………….……..…………...10

3. Графическое изображение вариационных рядов……………………………..…………..…………….17

4. Расчет теоретической нормальной кривой распределения…………….………..….……………….....22

5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения………….………….……………………....25

2. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов …………………………………..……..………….....….28

3. Гистограммы интервальных рядов для самопроверки……………………..…………..………………........44

4. Таблицы математической статистики………….………....59

5. Литература………………………………………………….62

ВВЕДЕНИЕ

Начальным этапом обработки выборочных наблюдений над различными экономическими показателями является построение интервальных вариационных рядов распределения. Обычно к ним прибегают в тех случаях, когда требуется изучить распределение большой совокупности наблюдений по некоторому количественному признаку X.

В дальнейшем условимся каждое отдельное значение признака обозначать x₁ , x₂ ,… x_n и называть вариантом.

Приведем решение типового примера, в котором рассматривается построение интервального ряда распределения, нахождение выборочных характеристик ряда, методика построения нормальной кривой распределения, проверка статистической гипотезы о законе распределения.

Вычисление выборочных характеристик при большом объеме n выборки x₁ , x₂ ,… x_n является трудоемкой задачей.

В этой связи для решения подобных задач можно использовать микрокалькуляторы или компьютеры с пакетами программ статистического анализа Microsoft Excel, Statistica for Windows, SPSS и др.

1. Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Методику оценивания параметров и проверки гипотезы о нормальном законе распределения покажем на примере.

Пример. По результатам выборочного обследования 100 однотипных предприятий получены данные объемов основных фондов (табл.1.1)

Таблица 1.1

Объем основных фондов (млн. руб.)

100 Предприятий легкой промышленности

5,56	5,27	5,02	5,47	5,27	5,37	5,47	5,47	5,33	5,11
5,33	5,47	5,33	5,33	5,47	5,05	5,33	5,85	5,68	5,11
5,54	5,43	5,64	5,21	5,68	5,43	5,79	5,47	5,21	5,47
5,43	5,43	5,47	5,27	5,68	5,43	5,47	5,79	5,47	5,54
5,43	5,43	5,61	5,47	5,27	5,54	5,61	5,54	5,64	5,54
5,64	5,43	5,33	5,11	5,33	5,33	5,33	5,54	5,64	5,64
5,40	5,68	5,43	5,54	5,43	5,37	5,37	5,21	5,64	5,64
5,71	5,47	5,21	5,33	5,43	5,33	5,43	5,27	5,21	5,54
5,79	5,58	5,27	5,33	5,40	5,43	5,54	5,54	5,54	5,81
5,39	5,47	5,47	5,27	5,58	5,43	5,43	5,33	5,61	5,54

1.1. Построение интервального вариационного ряда распределения

Построение интервального вариационного ряда распределения включает следующие этапы.

1. Определение среди имеющихся наблюдений (табл. 1.1) минимального и максимального значения признака. В данном примере это будут x_min= 5,02 и x_max= 5,85.

2. Определение размаха варьирования признака

R= x_min - x_max = 5,85 - 5,02=0,83

2. Определение длины интервала по формуле Стерджеса:

, где n – объем выборки

В данном примере (млн. руб.)

4. Определение граничных значений интервалов (a_i ÷ b_i).

Так как x_min и x_max являются случайными величинами, рекомендуется отступить влево от нижнего предела варьирования (x_min).

За нижнюю границу первого интервала предлагается принимать величину, равную

Если оказывается, что a₁<0, хотя по смыслу величина Х не может принимать отрицательные значения, то принимаем a₁=0.

Верхняя граница первого интервала b₁= a₁+h. Тогда, если b_i - верхняя граница i-го интервала (причем a_i+1=b_i), то b₂=a₂+h, b₃=a₃+h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равным или больше x_max.

a₁=5,02-0,11:2 ≈ 4,97;

b₁=4,97+0,11=5,08; a₂=5,08;

b₂=5,08+0,11=5,19; a₃=5,19 и т.д.

Значения длины h и границ интервалов a_i и b_i достаточно округлять до 2-го знака.

Границы последовательных интервалов записывают в 1-й графе таблицы 1.2.

5. Группировка результатов наблюдения

П росматриваем статистические данные в том порядке, в каком они записаны в таблице 1.1, и значения признака разносим по соответствующим интервалам, обозначая их так (по одному штриху для каждого наблюдения): , , , , .

Так как граничные признаки могут совпадать с границами интервалов, то условимся в каждый интервал включать варианты, большие, чем нижняя граница интервала, и меньшие или равные верхней границе (a_i < x_i ≤ b_i). Общее количество штрихов, отмеченных в интервале (табл.1.2, графа 2) даст его частоту (табл.1.2, графа 3) В результате получим интервальный статистический ряд распределения частот (табл.1.2, графы 1 и 3).

Таблица 1.2

Интервальный ряд распределения

объемов основных фондов 100 предприятий

Интервалы ai ÷ bi	Подсчет частот	Частота mi	Накопленная частота mнi
4,97 - 5,08 4,08 - 5,19 5,19 - 5,30 5,30 - 5,41 5,41* -5,52 5,52 - 5,63 5,63 - 5,74 5,74 - 5,85		2 3 12 19* 29* 18* 12 5	2 5 17 36 65 83 95 100
		n=∑mi=100

При использовании статистических пакетов или ППП Microsoft Excel для подсчёта частот значительно удобней пересортировать (ранжировать) данные в порядке возрастания (таблица 1.3), и после этого определить, сколько значений признака входит в каждый интервал.

Таблица 1.3

Исходные данные, ранжированные в порядке возрастания значений

5,02	5,27	5,33	5,37	5,43	5,43	5,47	5,54	5,61	5,68
5,05	5,27	5,33	5,37	5,43	5,47	5,47	5,54	5,61	5,68
5,11	5,27	5,33	5,37	5,43	5,47	5,47	5,54	5,61	5,68
5,11	5,27	5,33	5,39	5,43	5,47	5,47	5,54	5,64	5,68
5,11	5,27	5,33	5,40	5,43	5,47	5,47	5,54	5,64	5,71
5,21	5,27	5,33	5,40	5,43	5,47	5,54	5,54	5,64	5,79
5,21	5,27	5,33	5,43	5,43	5,47	5,54	5,54	5,64	5,79
5,21	5,33	5,33	5,43	5,43	5,47	5,54	5,56	5,64	5,79
5,21	5,33	5,33	5,43	5,43	5,47	5,54	5,58	5,64	5,81
5,21	5,33	5,33	5,43	5,43	5,47	5,54	5,58	5,64	5,85

Примечание. Число интервалов обычно берут равным от 7 до 11 в зависимости от числа наблюдений и точности измерений с таким расчетом, чтобы интервалы были достаточно наполнены частотами. Если получают интервалы с нулевыми частотами (особенно в середине интервального ряда), то нужно увеличить ширину интервала h и заново построить интервалы.

Пользователи, хорошо владеющие пакетом Microsoft Excel, могут не подсчитывать эти частоты вручную, а воспользоваться встроенной статистической функции Excel ЧАСТОТА, которая позволяет подсчитать частоты значений массива данных, попадающих в заданные интервалы.

Для этого после определения границ интервалов a_i ÷ b_i нужно выделить область, состоящую из смежных ячеек, количество которых на 1 больше количества граничных значений (выделена серым), вызвать встроенную статистическую функцию

В СТАВКА

f(x) Функция

Статистические

ЧАСТОТА,

в ыделить массив данных и массив границ интервалов в соответствующих окнах функции,

				Исходные данные												Гра-ницы	Час-тоты
5,56		5,27	5,03		5,47	5,27	5,37	5,47	5,47		5,33		5,11			4,97		0
5,33		5,47	5,33		5,33	5,47	5,05	5,33	5,85		5,68		5,11			5,08		2
5,54		5,43	5,64		5,21	5,68	5,43	5,79	5,47		5,21		5,47			5,19		3
5,43		5,43	5,47		5,27	5,68	5,43	5,47	5,79		5,47		5,54			5,3		12
5,43		5,43	5,61		5,47	5,27	5,54	5,61	5,54		5,64		5,54			5,41		19
5,64		5,43	5,33		5,11	5,33	5,33	5,33	5,54		5,64		5,64			5,52		29
5,4		5,68	5,43		5,54	5,43	5,37	5,37	5,21		5,64		5,64			5,63		18
5,71		5,47	5,21		5,33	5,43	5,33	5,43	5,27		5,21		5,54			5,74		12
5,79		5,58	5,27		5,33	5,4	5,43	5,54	5,54		5,54		5,81			5,85		5
5,39		5,47	5,47		5,27	5,58	5,43	5,43	5,33		5,61		5,54					0

нажать комбинацию клавиш для работы с матрицами CTRL+SHIFT+ENTER, после чего в выделенной (серой) области появятся частоты встречаемости значений из массива данных, попавших в заданные интервалы.