7. Устойчивость.

Задача 7.1.

Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1. подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2. определить значение коэффициента запаса устойчивости.

F=210кН;

l=1,7 м;

µ=1. Рис.7.1. Схема стержня и его поперечное сечение.

Решение.

Размеры поперечного сечения определим исходя из условий устойчивости:

где - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.

В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

Выразим геометрические характеристики через величину а.

Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:

тогда площадь поперечного сечения:

Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба принимают тогда

Расчетная гибкость стержня:

По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента соответствующего гибкости :

Путем линейной интерполяции получим:

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

,

.

Перенапряжение составляет , что недопустимо. Необходимо уточнение размеров.

Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух:

тогда площадь сечения

радиус инерции

Определим гибкость стержня

Коэффициент рассчитываем для гибкости :

Проверим выполнение условий устойчивости:

Перенапряжение составляет: что недопустимо.

Приближение 3.

Определим коэффициент продольного изгиба:

Площадь поперечного сечения

радиус инерции

гибкость колонны

Определим значение коэффициента :

Расчетное сопротивление

Недонапряжение составляет , что допустимо.

Окончательно принимаем размеры сечения 44х66мм ( )

Находим величину критической силы.

Так как , т.е.126,7>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

Определим коэффициенты запаса устойчивости:

Задача 7.2

Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1. подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2. о пределить значение коэффициента запаса устойчивости;

F=250 кН;

l=1,4 м;

µ=2. Рис.7.2 Схема стержня.

Решение.

Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:

.

Для расчета используем метод последовательных приближений.

Приближение 1.

В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба , тогда

Площадь одного уголка составит:

Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок 100х100х6,5 с площадью Ауг= 12,8см.

Определим радиусы инерции данного сечения относительно главных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения.

(находим в сортаменте, Приложение 3).

(находим в сортаменте, Приложение 3),

( находим в сортаменте),

Сравнивая и ,определяем, что минимальным радиусом инерции является .

Определим гибкость колонны:

По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента , соответствующего гибкости :

при

Путем линейной интерполяции получим:

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

Перенапряжение составляет , что недопустимо.

Необходимо увеличить поперечное сечение.

. Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух.

; тогда площадь сечения

В сортаменте выбираем уголок 110х110х7

Определяем гибкость стержня:

Из таблицы для выберем значение :

Проверим выполнение условий устойчивости:

Недонапряжение составит: , что для прокатного профиля приемлемо.

Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков 110х110х7.

Находим величину критической силы. Так как , т.е. 127,9>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

Тогда коэффициент запаса устойчивости будет равен: