Челябинская Государственная Агроинженерная Академия

Кафедра прикладной математики

Контрольная работа

По прикладной математике

№ зачетной книжки:	10018
№ варианта:	18
Форма обучения:	заочная
Специальность:	ЭСХ ПСО
Курс:	3
Группа:	32
Выполнил:	Казанцев Николай Евгеньевич
№ заданий	18
Номера задач по варианту	1	2	3
Зачтено

Челябинск

2013

Задача №1.

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А₁ и А₂, для производства которых используется сырье трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: 477, 441, 300 кг. На изготовление единицы изделия А₁ требуется затратить сырья каждого вида 4, 1, 3 кг, соответственно, а для единицы изделия А₂ – 6, 8, 2 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А₁ составляет 21 д. ед., для единицы изделия A₂ - 56 д. ед.

Вид сырья	Продукция		Ограничения по сырью	∆p
	А1	A2
1-й	4	6	477	195
2-й	1	8	441	117
3-й	3	2	300	65
Прибыль	21	56

Требуется составить план производства изделий А₁ и A₂, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Решить задачу без использования ПЭВМ:

1.1. Сформулировать и записать математическую модель задачи

1.2. Найти решение полученной модели графически

1.3. Найти решение задачи используя симплекс-метод ("Поиск решения"). Написать выводы.

1.4. Определить интервалы устойчивости полученного решения по отношению к изменению прибыли на единицу продукции

1.5. Определить теневые цены и интервалы их устойчивости по отношению к изменению ресурсов. Указать критическую точку данной производственной модели.

1.6. Оценить стоимость готовой продукции, при изменении сырья каждого вида на величину ∆bi. Найти новый оптимальный план.

1.7. Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение. Проверить выполнение теорем двойственности.

2. Решить задачу с помощью пакета MS Excel.

Решение.

1. Решение задачи без ПЭВМ

1.1. Сформулируем и запишем математическую модель задачи

Составим математическую модель задачи:

Пусть требуется произвести х₁ единиц изделий А₁ и х₂ единиц изделий А₂.

Максимизируем целевую функцию f(x) = 21х₁ + 56х₂ при ограничениях:

(1)

1.2. Найдем решение полученной модели графически

В прямоугольной системе координат х₁Ох₂ строим прямые (см. рис. 1):

по точкам

Нанесем штриховку на каждую линию в соответствии со знаком неравенства:

Рис. 1. Область допустимых значений OABCD

Выпуклый многоугольник OABCD – решение системы неравенств (1).

Строим вектор целевой функции: = {21; 56}.

Строим линию уровня (опорную прямую): (f) 21х₁ + 56х₂ = а, например

21х₁ + 56х₂ = 0 по точкам: (0; 0), (56; -21).

Для нахождения максимума f(x) перемещаем линию уровня по направлению вектора = {21; 56} до выхода из многоугольника OABCD.

Максимум функции f(x) будет достигнут в точке В – точке пересечения прямых (1) и (2).

Найдем координаты т. В из условия: В = (1) (2):

Из системы получим: координаты т. В (45, 99/2) и значение целевой функции в этой точке равно f_max = f(45, 99/2) = 21*45 + 56*99/2 = 3717 д. ед.

Тогда X = (х₁ = 45; х₂ = 99/2), при котором f_max = 3717 д. ед.

Предприятие должно выпускать 45 ед. продукции первого вида, 49,5 единиц продукции второго вида. При этом прибыль будет максимальной и составит 3717 ден. единиц.