§ 10.6. Построение временного процесса по фазовой траектории

В ряде случаев возникает необходимость построения зависимости от времени переменных состояния нелинейной системы по её фазовой траектории. Эту зависимость можно получить приближенно с помощью метода вписанных треугольников.

Для вывода основных соотношений этого метода рассмотрим отрезок фазовой траектории, показанный на рис. 10.30. Предположим, уравнения соответствующей нелинейной системы имеют вид

, .

Задача заключается в том, чтобы оценить время перехода изображающей точки из точки М₁

в близкую к ней точку М₂, т.е. необходимо оценить интервал .

Оценить указанный интервал точно по фазовой траектории сложно. Для его приближенной оценки из точек М₁ и М₂ (рис. 10.30), а затем и из середины отрезка , проводятся перпендикуляры к оси абсцисс. Точки и на оси соединяются прямыми линиями с серединой отрезка фазовой траектории. В результате образуется равнобедренный треугольник с углом при вершине.

Так как изменение ординаты при переходе из М₁ в М₂ невелико (при малом ), то её значение можно принять постоянным и равным значению в середине отрезка , т.е.

, ,

где – приращение времени. Это выражение для переменной y можно представить следующим образом:

.

Из этого выражения и свойств равнобедренных треугольников следует равенство

.

На этом равенстве и основан метод вписанных треугольников, который заключается в следующем. Пусть задана точка , соответствующая времени . Тогда для построения зависимостей и необходимо выполнить следующие действия:

- задаться малым значением угла (например, );

- построить (рис. 10.31) равнобедренный треугольник с углом при его вершине, лежащей на фазовой траектории. Боковое ребро этого треугольника должно пройти через точку , а биссектриса должна быть перпендикулярна к оси x. В результате получится точка ;

- построить следующий треугольник с тем же углом . Вершина этого треугольника также должна лежать на фазовой траектории, биссектриса должна быть перпендикулярной к оси х, а левое ребро должно проходить через точку (рис. 10.31). В результате получается следующая точка .

Продолжая этот процесс, получают серию точек, соответствующих определенным моментам времени и координатам:

, , .

При этом , , , а . По полученным точкам строятся процессы и (рис. 10.32).

В этом методе возникает некоторая сложность при переходе траектории через ось абсцисс. Поэтому после пересечения этой оси следующую точку на фазовой траектории выбирают так, чтобы время перехода в эту точку из предыдущей было приближённо равно .

Г л а в а 11

МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

§ 11.1. Гипотеза фильтра

Метод гармонической линеаризации для анализа систем автоматического управления предложен Л.С. Гольдфарбом в 1940 году. В его основе лежит аппроксимация колебательного движения системы первой гармоникой разложения в ряд Фурье периодической функции, описывающей это движение. Поэтому метод является приближенным. В некоторых случаях он позволяет исследовать устойчивость эталонного движения нелинейной системы, а также качественный характер её свободного движения.

Этот метод может быть применён для исследования систем любого порядка, но структура системы должна быть приведена к последовательному соединению нелинейного и линейного блоков. Чаще всего этим методом исследуется устойчивость положения равновесия системы. При определённых условиях можно установить наличие или отсутствие периодических движений, а также определить параметры последних, если эти движения существуют в системе.

Переходя к рассмотрению метода гармонической линеаризации, будем считать, что структурная схема исследуемой нелинейной системы приведена к виду, показанному на рис. 11.1.

Так как исследуется устойчивость системы, то внешнее воздействие . Уравнения линейной части (ЛЧ):

, . (11.1)

Далее будем считать, что линейная часть рассматриваемой системы стабилизируемая, т.е. её неполная часть асимптотически устойчива. Обозначим через W_л(р) передаточную функцию линейной части, соответствующую уравнениям (11.1), т.е.

. (11.2)

Нелинейный элемент (НЭ) может иметь любую характеристику z = Z(ε), лишь бы она была интегрируемой (т.е. без разрывов второго рода).

В основе метода гармонической линеаризации лежит следующее предположение: если исследуемая система неустойчива, то в ней могут возникать незатухающие периодические колебания. Это предположение позволяет считать, что переменная

, (11.3)

где – амплитуда и частота колебаний, действующих на входе нелинейного элемента.

Для примера, преобразование переменной нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис. 11.2. Как видно, выходная переменная нелинейного элемента также является периодической функцией, т.е. её можно разложить в ряд Фурье с тем же периодом . Тогда будем иметь

(11.4)

Здесь , , – коэффициенты ряда Фурье, .

Далее делается второе, основное предположение данного метода – так называемая «гипотеза фильтра». Гипотеза фильтра состоит в предположении, что линейная часть с передаточной функцией (11.2) нелинейной системы (см. рис. 11.1) является фильтром нижних частот (ФНЧ). Другими словами, предполагается, что линейная часть подавляет все высшие гармоники с частотами , начиная со второй, т.е. с , и пропускает первую гармонику с частотой .

На рис. 11.3 показаны амплитудно-частотные характеристики A(ω) некоторых объектов управления. Причем объект с характеристикой, приведённой на рис. 11.3,а, не удовлетворяет гипотезе фильтра, а объект с характеристикой, приведённой на рис. 11.3,б, удовлетворяет гипотезе фильтра.

Так как в начале исследования частота колебаний ω_k. неизвестна, то проверить выполнимость гипотезы фильтра до проведения расчёта нельзя. Поэтому приходится сначала провести все необходимые расчеты, а затем уже после определения частоты колебаний ω_k проверить гипотезу фильтра. Если она окажется выполненной, то результаты расчетов будут соответствовать процессам, протекающим в исследуемой системе. Если же гипотеза фильтра не будет выполняться, то результаты расчетов не будут соответствовать процессам, протекающим в системе, т.е. метод гармонической линеаризации, изложенный ниже, применять для исследования такой системы нельзя.

Гармоническая линеаризация. В дальнейшем будем считать, что гипотеза фильтра выполняется, то есть все высшие гармоники сигнала, присутствующего на выходе нелинейного элемента, подавляются линейной частью системы, и поэтому они отсутствуют на выходе линейной части. В этом случае высшие гармоники можно отбросить и на выходе нелинейного элемента. В результате ряд (11.4) примет вид

. (11.5)

Если , то коэффициенты ряда Фурье периодической функции с периодом определяются по формулам

, (11.6)

, (11.7)

. (11.8)

Представим равенство (11.5) в комплексной форме. С этой целью запишем очевидные равенства

,

. (11.9)

Отметим, что выражение вида называется комплексом при любом . С учетом равенств (11.6) – (11.9) выражение (11.5) принимает следующий вид:

. (11.10)

Обычно нелинейные характеристики являются симметричными относительно начала координат, поэтому чаще всего . Если и выполняется гипотеза фильтра, то и на входе, и на выходе нелинейного элемента переменные, как видно из (11.3), (11.9) и (11.10), являются мнимыми частями соответствующих комплексов. Именно такая ситуация имеет место в случае линейных динамических звеньев. Поэтому нелинейный элемент рассматриваемой системы можно заменить линейным звеном.

Комплексный коэффициент передачи любого линейного звена, по определению, равен отношению выходного комплекса звена к входному комплексу. По аналогии, в данном случае комплексный коэффициент передачи линейного звена, эквивалентного нелинейному элементу, определяется выражением

или

, (11.11)

где

, ,

где определяются выражениями (11.7) и (11.8).

Величины и называются вещественным и мнимым коэффициентами гармонической линеаризации, а – коэффициентом гармонической

линеаризации.

Важнейшей особенностью коэффициентов гармонической линеаризации является то,

что они зависят не от частоты , как в линейном случае, а от амплитуды колебаний.

Рассмотренная процедура замены нелинейного элемента линейным звеном с ком-

плексным коэффициентом передачи (11.11) называется гармонической линеаризацией. Основное достоинство этой процедуры в том, что коэффициенты гармонической линеаризации , для заданной нелинейности можно вычислять в символьной форме заранее. Для типовых нелинейностей эти коэффициенты вычислены и табулированы. Соответствующие выражения можно найти в литературе по теории автоматического управления или в приложении П.3, помещённом в конце настоящей книги.

Для примера приведём здесь коэффициенты гармонической линеаризации некоторых наиболее часто встречающихся типовых нелинейностей.

В частности, для нелинейности, показанной на рис. 11.4, имеем

, (11.12)

т.е. для этой нелинейности коэффициент гармонической линеаризации является вещественной функцией от амплитуды . Её график приведен на рис. 11.5.

В случае нелинейности с положительным гистерезисом (рис. 11.6) коэффициент гармонической линеаризации определяется выражением

(11.13)

и является комплексной величиной. Графики вещественного и мнимого коэффициентов гармонической линеаризации этой нелинейности показаны на рис. 11.7.

Для нелинейности типа идеальное реле (рис. 11.8), где зона нечувствительности , коэффициент гармонической линеаризации принимает вид

.

График этой функции приведен на рис. 11.9.

Коэффициенты гармонической линеаризации используются при исследовании нелинейных систем различных типов методом гармонической линеаризации.