§ 10.5. Исследование системы с переменной структурой

Системами с переменной структурой называют системы с переключающими элементами, которые коммутируют линейные элементы. В этом случае для построения фазовых портретов удобно применять метод припасовывания с использованием информации о фазовых траекториях, доставляемой корнями характеристических уравнений систем, соответствующих каждому положению переключающего элемента.

Для примера рассмотрим систему с переменной структурой (СПС) [15], схема которой приведена на рис. 10.26.

В данной системе переключающий элемент описывается следующим выражением:

Уравнения линейной части системы (согласно структурной схеме) имеют вид

, . (10.19)

Деление фазовой плоскости данной системы линиями переключения и при

показано на рис. 10.27,а. Цифрами +1 и –1 обозначены области фазовой плоскости, в которых функция принимает соответствующие значения.

Выясним характер фазовых траекторий в этих областях фазовой плоскости. Пусть . В этом случае рассматриваемая система (согласно (10.19)) описывается уравнением

. (10.20)

Следовательно, её характеристическое уравнение

.

Его корни , поэтому в соответствии с результатами, приведенными в § 10.3, особая точка является «седлом», а фазовый портрет системы (10.20) имеет вид, приведенный на рис. 10.27,б, где особые направления имеют наклон к оси .

Пусть . В этом случае из (10.19) получаем

, .

Корни этого характеристического уравнения . В соответствии с результатами, изложенными в § 10.3, особая точка в этом случае является «центром», а фазовые траектории – вложенными друг в друга окружностями с центром в начале координат, как показано на рис. 10.28,а.

Применяя метод стыкования траекторий, соответствующих различным начальным условиям, получим фазовый портрет системы с переменной структурой. Одна из траекторий этой системы приведена на рис. 10.28,б. Как видно, в результате «сшивания отрезков» отдельных траекторий получаются траектории, соответствующие нелинейной системе с устойчивым положением равновесия.

В рассматриваемом случае, т.е. при , фазовые траектории при любых начальных условиях соответствуют затухающим колебательным движениям системы. При этом отрезки траекторий, соответствующих различным значениям функции , чередуются друг с другом по мере увеличения времени .

Характер фазовых траекторий исследуемой СПС существенно изменяется при уменьшении коэффициента k, когда он становится меньше единицы. В этом случае возникает так называемый «скользящий режим». На рис. 10.29,а представлена фазовая траектория СПС при возникновении скользящего режима. В этом режиме переключающий элемент колеблется с очень высокой частотой, а изображающая точка как бы скользит по линии переключения, постепенно смещаясь к началу координат.

Скользящий режим возникает в нелинейных системах всякий раз, когда фазовые траектории с обеих сторон подходят к линии переключения (Л.П., см. рис. 10.29,б). В этом случае изображающая точка после попадания на линию переключения не может уйти с неё и двигается вдоль этой линии. Направление движения её (к особой точке или от неё) зависит от свойств линейной части рассматриваемой нелинейной системы.

В скользящем режиме система ведёт себя как линейная и оказывается нечувствительной к внешним воздействиям и к изменениям параметров самой системы, пока сохраняется скользящий режим. Характер её движения в этом режиме полностью определяется уравнением линии переключения. Однако в скользящем режиме переключающий элемент совершает высокочастотные колебания, что приводит к его быстрому износу.