§ 10.1. Основные понятия и определения

Метод фазовой плоскости впервые был применен для исследования нелинейных систем французским учёным Анри Пуанкаре. Основное преимущество этого метода – наглядность анализа движений нелинейной системы. Метод является качественным, т.е. он позволяет получать качественные выводы о свойствах движений нелинейной системы. Основной недостаток этого метода заключается в том, что он обладает большой эффективностью лишь при исследовании систем второго порядка. Иногда удаётся провести исследование систем третьего порядка. При более высоком порядке системы метод теряет наглядность и применяется редко.

Уравнения исследуемой системы обычно берутся в виде

, . (10.1)

Метод фазовой плоскости заключается в исследовании характера свободных движений нелинейных динамических систем типа (10.1) путем построения их фазовых траекторий на фазовой плоскости. Как известно, свободные движения динамических систем вызываются ненулевыми начальными условиями. Обозначим – вектор начальных условий. Это означает, что

,

где

.

Фазовое пространство (пространство состояний), в общем случае, – это линейное n-мерное пространство, координатами которого являются компоненты вектора состояний, т.е.

переменные состояния исследуемой системы. При пространство вырождается в плоскость, которая называется фазовой плоскостью. Она показана на рис. 10.1.

Если взять моменты времени: …, причем и , то каждому моменту времени … будут соответствовать значения переменных состояния: системы (10.1). Каждая пара этих значений … определяет некоторую точку на фазовой плоскости. Эти точки, соответствующие моментам времени , показаны на рис. 10.1. Соединяя точки, соответствующие различным моментам времени, получим кривую, каждая точка которой соответствует состоянию системы (10.1) в соответствующий момент времени t.

Полученная линия называется траекторией системы или фазовой траекторией.

Каждая фазовая траектория данной системы определяется некоторыми начальными условиями. Задавая различные начальные условия, получим различные фазовые траектории одной и той же системы.

Совокупность фазовых траекторий и других элементов фазовой плоскости, отражающих свойства нелинейной системы, называется фазовым портретом системы.

Фазовый портрет позволяет без дополнительных выкладок и без определения решений нелинейной системы (10.1) сделать выводы о таких её свойствах, как:

- количество положений равновесия системы,

- характер движений системы в окрестности каждого положения равновесия,

- устойчивость положений равновесия,

- наличие или отсутствие периодических движений системы,

- наличие или отсутствие областей с различным характером фазовых траекторий и т. д.

§ 10.2. Элементы фазового портрета

Изображающая точка – это точка фазовой плоскости, соответствующая состоянию

системы в некоторый момент времени .

След изображающей точки на фазовой плоскости при изменении от до есть фазовая траектория. Точка, соответствующая определённым начальным условиям или моменту времени , называется начальной. Каждая начальная точка определяет некоторую фазовую траекторию.

Фазовая скорость – это вектор , определяющий направление движения изображающей точки в каждый момент времени. Фазовая скорость всегда направлена по касательной к фазовой траектории в точке, соответствующей моменту времени . Фазовая скорость является функцией переменных состояния системы. Величина (модуль) фазовой скорости определяется выражением . Вектор фазовой скорости показан на рис. 10.2.

Особая точка – это точка фазовой плоскости, в которой фазовая скорость равна нулю. Это означает, что фазовая траектория, попав (например, при ) в особую точку, из неё не «выходит». Другими словами, если начальная точка совпадает с особой точкой, то вся соответствующая этой начальной точке траектория располагается в этой особой точке.

Каждая особая точка на фазовой плоскости соответствует некоторому положению равновесия исследуемой динамической системы. Другими словами, сколько имеется особых точек на фазовой плоскости, столько же положений равновесия имеет исследуемая нелинейная система.

Уравнения особых точек. Из определения особых точек следует, что их уравнения можно получить из уравнений системы (10.1), если в них положить , т.е. уравнения особых точек этой системы имеют вид

, . (10.2)

Эта нелинейная алгебраическая система чаще всего может быть разрешена только лишь численными методами.

Пусть , где , – решения системы уравнений (10.2). Тогда точки на фазовой плоскости являются особыми точками нелинейной системы, описываемой уравнениями (10.1); – число особых точек этой системы.

Пример 10.1. Предположим, нелинейная система описывается уравнениями

, .

Найти её особые точки.

Решение. Полагая здесь , получим уравнения типа (10.2), решения которых определяют координаты особых точек заданной нелинейной системы:

, .

Одно из решений этой системы, очевидно, имеет вид

.

Далее из первого уравнения получаем . Подставляя во второе уравнение, найдем

или

.

Отсюда находим

, .

Следовательно, особые точки исследуемой системы это точки:

.

Эти точки показаны на рис. 10.3. ■

Типы фазовых траекторий. Существуют замкнутые и разомкнутые фазовые траектории. Разомкнутые фазовые траектории, начинаясь в начальной точке, определяемой начальными условиями, уходят либо в бесконечность, либо к некоторой особой точке, либо

к замкнутой траектории, как показано на рис. 10.4. Разомкнутые траектории соответствуют непериодическим движениям.

Замкнутые траектории соответствуют периодическим (циклическим) движениям системы. Поэтому они называются циклами. Периодическое движение системы совершается в том случае, когда начальные условия оказываются на кривой цикла, как показано на рис. 10.5. В зависимости от характера фазовых траекторий, начинающихся в окрестности цикла, последние различают следующим образом:

- предельный цикл,

- непредельный цикл.

Среди предельных циклов различают:

- предельные устойчивые,

- предельные полуустойчивые,

- предельные неустойчивые.

Непредельным циклом называется такой цикл, что начинающиеся в его окрестности фазовые траектории остаются в этой окрестности, не уходя от цикла и не приближаясь к нему.

Предельным циклом называется цикл такой, что фазовые траектории, начинающиеся в его окрестности, либо приближаются к нему с ростом времени в положительном направлении, либо удаляются от него. При изменении знака времени характер поведения фазовых траекторий в окрестности предельного цикла меняется на противоположный.

Предельный цикл называется устойчивым или аттрактором, если фазовые траектории, начинающиеся в любой точке его достаточно малой окрестности, приближаются к нему с ростом времени (рис. 10.6,а). Неустойчивым предельным циклом или репеллером называется такой предельный цикл, что найдется хотя бы одна фазовая траектория, начинающаяся в его окрестности, которая удаляется от него (рис. 10.6,б).

Если нелинейная система имеет несколько циклов, вложенных друг в друга, то ус-

тойчивые и неустойчивые циклы чередуются.

Некоторые динамические системы имеют полуустойчивые циклы, т.е. такие циклы, что траектории, начинающиеся с одной стороны цикла, приближаются к нему, а с другой не приближаются и не уходят от него, как показано на рис. 10.6,в.

Если дифференциальные уравнения системы (10.1) удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, то фазовые траектории не пересекаются ни при каких конечных значениях времени.

Изоклины. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых угол наклона касательных к фазовым траекториям один и тот же. Пример изоклины некоторой нелинейной системы приведён на рис. 10.7. Для получения уравнения изоклин разделим второе уравнение (10.1) на первое и приравняем это отношение некоторому числу , т.е.

(10.3)

Равенство (10.3) является уравнением изоклины, соответствующей наклону касательных под углом .

Ранее изоклины использовались для приближённого построения фазовых портретов нелинейных систем. В настоящее время фазовые портреты нелинейных систем второго порядка гораздо удобнее строить с помощью ЭВМ путем решения дифференциальных уравнений приближенными численными методами, например, методом Рунге-Кутта [5].

Особые направления. На фазовом портрете динамической системы могут быть так называемые особые направления. Особое направление – это траектория, во всех точках которой касательные к ней совпадают с нею. Можно также сказать, что особое направление – это прямолинейная траектория. Особые направления некоторой линейной системы приведены на рис. 10.8. Особые направления обычно наблюдаются на фазовых портретах линейных систем и связаны с наличием вещественных корней характеристического уравнения соответствующей системы.

Сепаратрисы. Сепаратрисы – это линии, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Обычно сепаратрисы, как и особые направления, либо начинаются и заканчиваются в окрестностях особых точек, либо начинаются в окрестности особой точки и уходят в бесконечность, либо начинаются в бесконечности и стремятся к особой точке, как показано на рис. 10.8. На этом рисунке начало координат является особой точкой, а наклонные прямые, проведённые через него, – сепаратрисами и особыми направлениями одновременно.

Особый вид фазового портрета. Очень часто уравнения нелинейной системы имеют вид

, , (10.4)

т.е. переменная является производной по времени от . В этом случае удобно обозначить через , а через . Тогда уравнения (10.4) запишутся следующим образом:

, , (10.5)

а изоклины будут определяться уравнением

, . (10.6)

В рассматриваемом случае фазовые траектории обладают рядом специфических свойств. В частности, все фазовые траектории пересекают ось абсцисс под углом , как показано на рис. 10.9.

Действительно, пусть . Тогда, согласно (10.6),

.

Отсюда и следует, что все фазовые траектории пересекают ось абсцисс под углом . Кроме того, из уравнений (10.5) следует, что все особые точки данной системы могут располагаться только на оси , а изображающая точка может двигаться при только по часовой стрелке, что также показано на рис. 10.9.