§ 8.2. Синтез систем управления с вырожденными передаточными функциями

Из теоремы 8.1 следует, что порядок замкнутой системы с управлением по выходу и

воздействиям не ниже 2n – 1, т.е. является довольно высоким. Так как выбор желаемых передаточных функций системы высокого порядка затруднителен, то целесообразно понизить степени знаменателей и числителей передаточных функций синтезируемой системы. Это можно сделать, выбрав порядок r устройства управления, согласно (8.12), а полиномы в уравнениях (8.6) – (8.8) взяв в виде

, (8.18)

, (8.19)

. (8.20)

Здесь – желаемый полином знаменателей передаточных функций системы n-го порядка; – вспомогательный полином, удовлетворяющий условиям Гурвица; – также вспомогательный полином.

Подставив выражения (8.18) – (8.20) в равенства (8.9), (8.10), получим:

, (8.21)

. (8.22)

Таким образом, передаточные функции замкнутой системы в условиях равенств (8.18) – (8.20) являются вырожденными (из-за сокращения полинома ) и соответствуют системе, порядок которой равен порядку объекта, так как степень полинома можно взять равной .

Напомним, что этими же свойствами обладают и рассмотренные выше системы с на-

блюдателем Калмана (см. § 7.4). Полином в равенствах (8.18) – (8.21) эквивалентен характеристическому полиному наблюдателя из выражения (7.19). Поэтому его нули целесообразно выбирать несколько левее нулей полинома . В свою очередь, последний эквивалентен, очевидно, полиному из того же выражения (7.19).

Следовательно, если полиномы и выбраны, согласно (8.18) – (8.20), то соотношения (8.6) – (8.8) определяют при САУ с наблюдателем Калмана. При этом коэффициенты числителей передаточных функций замкнутой системы, как отмечалось выше, выбирать по тем или иным условиям синтеза невозможно, так как имеющиеся в ней возможности назначения коэффициентов «расходуются» на обеспечение вырожденности её передаточных функций (8.21), (8.22).

Числитель передаточной функции (8.21) и здесь оказывается тем же, что и у передаточной функции по управлению u объекта (7.24). В то же время числители передаточных функций по возмущениям изменяются и заранее неизвестны.

Решение задачи синтеза при условиях (8.18) – (8.20) существует, если только заданный объект стабилизируемый. Для определения параметров устройства управления (8.1) – (8.2) необходимо выбрать величину r, полиномы и , затем составить и решить систему (8.16), соответствующую равенству (8.6) с учетом (8.15), а также аналогичные системы, соответствующие равенствам (8.7) и (8.8). Затем воспользоваться формулами (8.17) для матрицы R и векторов , , , , из уравнений (8.1), (8.2) устройства управления. Тот факт, что числитель передаточной функции (8.21) известен заранее, можно использовать для выбора полинома с учётом того или иного требования к качеству системы. Покажем эти возможности.

Пример 8.1. Синтезировать систему, оптимальную в смысле минимума интегральной квадратичной оценки (6.2) переходной функции по задающему воздействию. Объект управления – механизм подачи электрода в сварочную головку, который описывается уравнения-

ми (5.15), (5.16) с числами , матрицей и векторами

, , , . (8.23)

Необходимо рассчитать параметры устройства управления, обеспечивающего равенство нулю коэффициента ошибки по задающему воздействию и оптимальность САУ в указанном смысле. При этом возмущение f измерению недоступно.

Решение. Матрицы управляемости и наблюдаемости заданного объекта (8.23), по формулам (3.3) и (3.16) при B = b и , имеют вид

, .

Определители этих матриц не равны нулю, следовательно, объ­ект полный, и задача синтеза имеет решение. Переходя в (5.15), (5.16) с учетом (8.23) к уравнению вход-выход (7.24) по (5.17), (5.18), получим

, , .

Для обеспечения равенства , в соответствии с формулой (5.41), возьмем , т.е. . Неизвестный ко­эффициент будем считать варьируемым и выберем его из условия оптимальности. В силу равенства (8.21) изображение по Лапласу переходной функции замкнутой системы по задающему воздействию в данном случае имеет вид

.

Воспользовавшись формулами (6.6), (6.7) и формулами Мак-Ленна (см. § 5.7) при , получим квадратичную интегральную оценку переходной функции синтезируемой системы в виде

.

Эта оценка имеет минимум при . Округляя без сущест­венных потерь это значение до 5, получим желаемый полином . Его нули .

Степень полинома (при равенстве в формуле (8.12)) . Примем его нуль равным –3 так, чтобы его реальная часть по модулю была больше 2,5. Тогда . При этом по формуле (8.18) полином .

Система (8.16), соответствующая уравнению (8.6), в данном случае имеет вид

.

Ее решение: , , , .

Подставляя равенство (8.19) в уравнение (8.7), находим , т.е. . Далее по формулам (8.17) при , и имеем , , , . Поэтому в соответствии с равенствами (8.1), (8.2) уравнения устройства управления в данном случае имеют вид

, .

Объединяя уравнения объекта (5.15), (5.16), (8.23) с этими уравнениями УУ в одну систему и исключая переменные состояния , , и управление , получим (после сокращения на множитель ) передаточную функцию замкнутой системы

.

Коэффициент этой системы, согласно (5.37), равен нулю. Нетрудно убедиться также, что характеристический полином синтезированной системы равен произведению , что характерно, как отмечалось выше, для систем с наблюдающими устройствами. ■