, ,

где N_c – матрица взаимных ковариаций случайных процессов V₀ и V_н .

При заданных уравнениях (7.66) и (7.67), где матрица D = 0, команда обращения к программе LQG имеет вид

[af,bf,cf,df] = LQG(A,B,C,D,W,V).

Результатами работы этой программы являются выдаваемые ею матрицы, стоящие в левой части приведённой команды. С их помощью уравнения оптимального регулятора с учётом вектора задающих воздействий g оптимальной системы записываются следующим образом:

, .

где – как и выше, вектор задающих воздействий.

Данный регулятор обеспечивает оптимальное управление объектом (7.66) и (7.67), в смысле минимума функционала (7.79) при действии случайных воздействий в виде белых шумов, параметры которых определяются выражениями (7.74).

Г л а в а 8

СИНТЕЗ СИСТЕМ С УПРАВЛЕНИЕМ ПО ВЫХОДУ И ВОЗДЕЙСТВИЯМ

§ 8.1. Определение управления по выходу и воздействиям

На практике часто применяются системы автоматического управления, в которых управление по отклонению комбинируется с управлением по воздействиям. Качество таких систем, как правило, значительно выше, чем систем с управлением только по отклонению. Однако обратная связь по выходу используется здесь не в полной мере, так как в основном служит для формирования отклонения.

Рассмотренные выше модальное и оптимальное управления реализуются чаще всего с помощью наблюдателей состояния. При наличии возмущений, приложенных к объекту, в уравнения наблюдателя должны входить эти возмущения наряду с управлением, и формально это приводит к зависимости управления от задающего воздействия и от возмущений. Однако связи по этим воздействиям также не варьируются с целью улучшения качества процесса управления, а предопределены заранее уравнениями наблюдателя. Поэтому получаемые таким способом управления оказываются управлениями только по состоянию. Их синтез сводится к выбору варьируемых обратных связей по состоянию x и по выходу y (фактически, по оценкам состояния и по выходу y).

В устройстве управления (7.25), реализующем управление по выходу и по воздействиям, варьируемыми предполагаются все вводимые в нём связи, т.е. по управлению u, по измеряемой величине y, по задающему воздействию g и по измеряемым возмущениям .

Рассмотрим структурные особенности систем с управлением по выходу и по воздействиям на примере системы управления объектом с одним управлением и одним выходом.

Функциональная схема такой системы приведена на рис. 8.1. Здесь предполагается, что объект управления (ОУ) задан либо уравнениями в переменных состояния (5.15), (5.16) или (7.1), (7.2), либо уравнением «вход-выход» (7.24). Устройство управления (УУ) представляет собой динамический блок, имеющий один выход и несколько входов, на которые подаются все доступные измерению воздействия и переменные. Это задающее воздействие g и измеряемое возмущение f, управление u и управляемая переменная y. Причем две последние связи берутся отрицательными.

Поэтому в соответствии с рис. 8.1 уравнения рассматриваемого УУ в переменных состояния можно записать так:

, (8.1)

. 8.2)

Здесь – r-мерный вектор переменных состояния УУ; – матрица; , , , , – векторы соответствующей размерности; , , , – числовые коэффициенты.

В уравнениях (8.1), (8.2) размерность вектора z, а также все коэффициенты предполагаются варьируемыми, причем все они заранее неизвестны и должны быть определены в процессе синтеза системы управления, исходя из требований к ее качеству.

Известно, что уравнениям (8.1), (8.2) всегда можно поставить в соответствие некоторую электрическую схему, поэтому УУ, которое описывается уравнениями такого типа, всегда может быть физически реализовано.

Чтобы получить расчетные соотношения, позволяющие определить коэффициенты уравнений (8.1), (8.2), рассмотрим уравнения «вход-выход» замкнутой системы. Наиболее корректный путь получения этих уравнений состоит в объединении уравнений объекта (5.15), (5.16) и устройства управления (8.1), (8.2) с последующим исключением управления и всех переменных состояния. Однако этот путь является чрезвычайно громоздким. Гораздо проще искомое уравнение можно получить непосредственно из уравнений «вход-выход» объекта и устройства управления. Однако при этом, проводя преобразования уравнений, необходимо следить, чтобы порядок системы всегда был равен сумме порядков объекта и устройства управления.

В изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях уравнение вход-выход

УУ (8.1), (8.2) имеет вид

, (8.3)

где

, ,

, , (8.4)

.

Подставляя выражение для , которое вытекает из уравнения (8.3), в уравнение «вход-выход» (7.24) объекта при и , , придём к уравнению

, (8.5)

где обозначено

, (8.6)

, (8.7)

. (8.8)

В этих выражениях коэффициенты полиномов , и являются коэффициентами уравнения «вход-выход» (8.5) замкнутой системы, а коэффициенты полиномов , , и , , , , – коэффициентами уравнений вход-выход объекта (7.24) и управляющего устройства (8.3) соответственно. Следовательно, соотношения (8.6) – (8.8) устанавливают связь между параметрами замкнутой системы, объекта и устройства управления.

Коэффициенты полиномов , и одновременно являются и коэффициентами передаточных функций замкнутой системы. Действительно, из уравнения (8.5) следуют выражения

, (8.9)

. (8.10)

Таким образом, полином является знаменателем, а полиномы и – числителями передаточных функций замкнутой системы по задающему и возмущающему воздействиям.

Передаточные функции, как известно, достаточно полно определяют качество системы управления. Следовательно, исходя из требуемых свойств системы, можно указать желаемые значения коэффициентов полиномов , и . При заданных полиномах , и это позволяет рассматривать соотношения (8.6) – (8.8) как систему полиномиальных уравнений относительно неизвестных полиномов или коэффициентов управляющего устройства, описываемого уравнением (8.3).

При таком (полиномиальном) подходе синтез систем автоматического управления сводится к следующим действиям:

а) выбору порядка замкнутой системы управления, исходя из условий разрешимости уравнений (8.6) – (8.8) и условий физической реализуемости модели УУ (8.3);

б) выбору желаемых значений коэффициентов передаточных функций замкнутой системы (8.9), (8.10), исходя из заданных требований к качеству процесса управления;

в) решению систем уравнений, определяющих коэффициенты искомого устройства управления.

Важнейшим преимуществом такого подхода к синтезу систем автоматического управления является то, что указанные задачи могут разрешаться достаточно независимо. Кроме того, системы уравнений, определяющие параметры устройства управления, являются алгебраическими и линейными. Это позволяет достаточно просто разрешить указанные системы, в том числе и в тех случаях, когда некоторые параметры замкнутой системы остаются неизвестными, варьируемыми. Их значения выбираются путём оптимизации тех или иных критериев качества замкнутой системы.

Соотношения (8.1) – (8.8) допускают большое число различных вариантов синтеза систем автоматического управления. В частности, приведённые выше решения задач синтеза инвариантных систем управления (§ 7.5) получены с применением именно управления по выходу и по воздействиями и этих соотношений. В данной главе рассматриваются решения на основе этого же подхода ряда других, часто встречающихся на практике задач.

Прежде чем переходить к их изложению, сделаем несколько замечаний. Основной особенностью данного подхода является возможность назначения всех коэффициентов (корней) знаменателей передаточных функций и частичная (в общем случае) возможность назначения коэффициентов числителей передаточных функций (8.9), (8.10). Поэтому возможности того или иного варианта синтеза, в конечном счете, определяются тем, какое число этих коэффициентов можно назначить, исходя из требований к качеству системы управления. Это, в свою очередь, определяется условиями разрешимости уравнений (8.6) – (8.8) относительно коэффициентов полиномов , , , и при заданных полиномах , и и условиях физической реализуемости УУ (8.3).

Например, возможности одного из вариантов синтеза определяются приведённой ниже теоремой. Пусть , , – коэффициенты при полиномов , и из уравнения (7.24), причем ; а , , – степени этих полиномов соответственно. Обозначим через – число такое, что

, . (8.11)

По существу, – это число нулей полинома , расположенных в точке р = 0.

Теорема 8.1. Пусть заданный объект (8.1), (8.2) n-го порядка является полным, выполнено (8.11), а порядок r устройства управления (8.1), (8.2) удовлетворяет неравенству

. (8.12)

Тогда при любом заданном полиноме степени , любом заданном полиноме степени и любых целых числах уравнения (8.6) – (8.8) разрешимы относительно неизвестных коэффициентов полино­мов: степени , степени и степени , . При этом число назначаемых коэффициентов полиномов определяется выражением

или , (8.13)

а число не назначаемых коэффициентов – формулой

. ■ (8.14)

В общем случае полиномы в уравнении УУ (8.3) определяются следующим образом. Будем счи­тать, что коэффициенты полиномов , , заданы, полинома назначены, исходя из требуемых свойств системы. При этом полиномы , , , и полином имеют вид

, , ,

, . (8.15)

Перемножая полиномы в левой части равенства (8.6) с учетом обозначений (8.15) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой его частях, получим систему алгебраических уравнений вида

, (8.16)

Степени полиномов и выбираются так, чтобы матрица этой системы была квадратной (как, например, при ). При этом если объект управления является полным, то её определитель не равен нулю, и алгебраическая система (8.16) имеет единственное решение, которое полностью определяет указанные в (8.15) коэффициенты полиномов и .

Аналогично путем перехода к матричной форме разрешаются уравнения (8.7) и (8.8) относительно коэффициентов полиномов , после выбора желаемых значений назначаемых коэффициентов , полиномов , .

Как видно из соотношений (8.6), (8.8), полиномы и зависят не отдельно от каждого полинома и , а от их суммы. Поэтому коэффициенты одного из них (обычно ) выбираются с учетом конкретных требований к качеству системы (см. пример 7.3) или конструктивных соображений.

После того как все полиномы (8.15) найдены, коэффициенты уравнений УУ в форме (8.1), (8.2) наиболее целесообразно определять в соответствии с выражениями:

, , (8.17)

, , , .

Здесь , , – компоненты векторов , , соответственно.

Выражения (8.17) по смыслу являются «обратными» к соотношениям (8.4). Фактически это соотношения «обратного» перехода от уравнения «вход-выход» к соответствующим уравнениям в переменных состояния на основе канонической наблюдаемой формы.

Конечно, коэффициенты уравнений устройства управления (8.1), (8.2) могут вычисляться и другим путем. С точки зрения синтеза системы управления важно только, чтобы уравнение «вход-выход» полученного УУ имело найденные выше полиномы (8.15).

Перейдём к рассмотрению решения задач синтеза САУ различных типов на основе приведённых соотношений.