§ 6.2. Оптимизация квадратичной оценки переходной функции

Допустим, исследуемая система (рис. 6.5) задана своей передаточной функцией , причем часть коэффициентов этой передаточной функции может изменяться, т.е. они являются варьируемыми. Необходимо выбрать такие значения этих коэффициентов, при которых квадратичная оценка (6.2) переходной функции будет минимальной. Известно, что

.

На основании теоремы о предельном значении можно записать равенства

.

Обычно

.

Поэтому . Для вычисления квадратичной оценки (6.2) вида

обычно используется теорема Парсеваля (Релея). В соответствии с этой теоремой интеграл может быть вычислен по формуле

. (6.5)

В равенстве (6.5) – это изображение по Фурье сигнала . В нашем случае при . В силу линейности преобразования Лапласа

.

Поэтому имеем

. (6.6)

Заменяя в (6.6) на и подставляя в (6.5), получим

.

Введем обозначение

.

Отсюда вытекает следующая формула:

, (6.7)

где , – полиномы от jω.

Интеграл (6.7) совпадает с интегралом (5.61) и вычисляется в символьном виде с помощью формул (5.62) или (5.63). Эти формулы позволяют выразить квадратичную оценку (6.2) через параметры системы и выбрать, если необходимо, значения варьируемых параметров из условия минимума этой оценки.

Для выбора значений варьируемых параметров, как обычно, необходимо найти частные производные квадратичной оценки по параметрам и приравнять их к нулю. Полученные таким образом уравнения определяют оптимальные значения варьируемых параметров. Аналогичным образом осуществляется вычисление или минимизация и улучшенной квадратичной оценки типа (6.3).

Пример 6.1. Найти оптимальное значение коэффициента α₁ и соответствующую интегральную оценку J₂ для переходной функции системы (рис. 6.5) с передаточной функцией

.

Решение. Найдем . По формуле (6.6) находим

.

Подставляя это выражение в равенство (6.7) при p = jω и применяя формулу Мак-Лена (5.62) для случая , получим

.

Как видно, выражение для является функцией варьируемого коэффициента . Для определения его оптимального значения найдем производную оценки по . Имеем

.

Приравняв правую часть этого равенства нулю и решив полученное уравнение, найдем его корни . Отрицательное значение принимать нельзя, так как системы управления должны быть устойчивыми. Следовательно, рассматриваемая система является оптимальной при . ■

§ 6.3. Корневые оценки показателей качества

Рассмотрим полную, устойчивую систему управления с передаточной функцией

. (6.8)

Отличительная особенность этой функции состоит в том, что её числитель является числом.

Как показано выше, справедливо равенство

. (6.9)

Будем считать далее, что среди корней знаменателя передаточной функции (6.8) нет

равных друг другу, но среди них могут быть как вещественные , , так и комплексные , , причем . В этом случае реакция рассматриваемой системы на ступенчатое воздействие, как известно, имеет вид

.

где и – некоторые постоянные.

Рассмотрим составляющую

,

и оценим время существования её колебаний, т.е. длительность переходного процесса по этой составляющей , а также число колебаний, происшедших за это время. Составляющую будем считать затухшей тогда, когда её значения не будут превышать 5% от величины . Поэтому для определения значения имеем уравнение

или .

Логарифмируя последнее равенство, получим

.

Отсюда

.

Принимая во внимание, что характеристическое уравнение системы имеет несколько корней как вещественных, так и комплексных, можно заключить, что длительность переходного процесса рассматриваемой системы удовлетворяет неравенству

, . (6.10)

Отметим, что параметр является степенью устойчивости рассматриваемой

системы.

Найдем теперь число колебаний i-й составляющей за время её затухания. Очевидно, , где – период колебаний i-й составляющей, причем . Так как , то . Поэтому число колебаний за время переходного

процесса всей системы можно оценить по формуле

. (6.11)

Параметр называется показателем колебательности системы.

Числа μ и η являются параметрами области распределения корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости (рис. 6.6). На этом рисунке l – максимальное значение модулей вещественных частей этих корней (полюсов системы), т.е.

.

Это ещё один параметр области распределения (заштрихованная на рис. 6.6 область) корней характеристического уравнения системы.

Угол , показанный на рис. 6.6, определяется условием

.

Параметр связан приближенным соотношением

(6.12)

с перерегулированием %. Отсюда, в частности, следует, что чем больше , тем большим может быть перерегулирование.

Определение. Правые части соотношений (6.9) – (6.12) представляют собой косвенные оценки прямых показателей качества и переходного процесса системы управления с передаточной функцией (6.8). ■

Подчеркнем, что выражения (6.9) – (6.12) для оценок первичных показателей качества справедливы, если только в (6.8) корни знаменателя различные, а в числителе стоит число (константа). В противном случае эти выражения (кроме (6.9)) обычно дают заниженные

оценки указанных показателей качества.

Тем не менее, выражения (6.9) – (6.12) часто используются либо для определения оценок указанных параметров (если система задана), либо для выбора желаемых значений корней характеристического полинома системы, когда проводится синтез системы, например, на основе модального управления (см. главу 7).