§ 5.6. Инвариантные системы управления

Как показано выше, точность систем управления определяется ошибками, с которыми они воспроизводят задающие воздействия и подавляют влияние возмущений. Поэтому при создании систем управления всегда стремятся обеспечить как можно меньшую ошибку при хорошем переходном процессе. Одним из самых эффективных способов уменьшения ошибок является придание системам автоматического управления свойства инвариантности.

Рассмотрим определение и возможности инвариантных систем управления. Предположим, имеется устойчивая линейная система с двумя внешними ограниченными воздействиями, показанная на рис. 5.12. Пусть эта система является следящей, стабилизирующей или программного управления, так что её ошибка , по определению, равна максимальному значению отклонения в установившемся режиме (т.е. при ).

Так как система линейная, то её отклонение можно представить в виде суммы отклонений и , вызванных задающим воздействием и возмущением соответственно, что также показано на рисунке.

В общем случае термин инвариантность обозначает независимость какого-либо свойства или явления от тех или иных факторов.

Определение. Система управления называется инвариантной к некоторому воздействию, если её ошибка , обусловленная этим воздействием, равна нулю.

В этом случае ошибка, очевидно, не зависит от интенсивности и вида данного воздействия. Отсюда и следует термин “инвариантность” системы автоматического управления.

Различают два типа инвариантности динамических систем управления.

1. Абсолютная инвариантность (например, к задающему воздействию g(t)). Это значит, что при всех выполняется условие

. (5.48)

2. Селективная инвариантность (инвариантность с точностью до переходной составляющей). В этом случае

, , . (5.49)

Другими словами, при выполнении условия (5.49) отклонение, вызванное данным воздействием, в переходном режиме не равно нулю, а в установившемся режиме равно нулю.

Частным случаем таких систем, очевидно, являются системы с астатизмом -го порядка по отношению к полиномиальным воздействиям, степень которых r не превышает величины (см. предыдущий параграф).

Понятно, что если условие (5.48) или (5.49) выполняется, то ошибка системы , которая, как отмечалось выше, равна максимальному значению отклонения системы в установившемся режиме (т.е. при , см. (5.6), (5.7)), будет равна нулю, что соответствует определению инвариантности.

Как правило, селективно инвариантные системы, т.е. системы инвариантные с точностью до переходной составляющей, являются инвариантными лишь по отношению к воздействиям определенного вида (например, к полиномиальным некоторых степеней, к экспоненциальным с заданным показателем или к гармоническим некоторой частоты и т.п.). Именно поэтому эта «вторая» инвариантность по условию (5.49) называется селективной инвариантностью, т.е. избирательной инвариантностью.

Критерии инвариантности систем управления. Рассмотрим свойства системы управления, при которых достигается её инвариантность к тому или иному воздействию.

Абсолютная инвариантность. Так как отклонение, например, , то абсолютная инвариантность системы к некоторому воздействию достигается при условии

. (5.50)

Условие (5.50) удобно применять, если система задана передаточными функциями. Если же система задана уравнениями в переменных состояния, например, в виде (5.15), (5.16), то целесообразнее использовать следующие условия абсолютной инвариантности:

а) к задающему воздействию g

, , ; (5.51)

б) к возмущению f

, , . (5.52)

Подчеркнём, что на практике возможность удовлетворения условий (5.50) или, что то же самое, (5.51), (5.52) очень мала, так как получаемые из него передаточные функции регуляторов, как правило, оказываются физически нереализуемыми.

В соответствии с принципом двухканальности, который был установлен в 50-х годах XX века академиком Б.Н. Петровым, для обеспечения условий (5.50) или (5.51), (5.52) необходимо, чтобы каждое воздействие или имело несколько каналов влияния на систему. Как правило, для обеспечения этого условия необходимо измерять воздействие и вводить информацию о нём в регулятор. Именно это и осуществляется при построении систем управления в соответствии с принципом управления по воздействиям (см. § 1.4).

Однако измерение воздействий не всегда возможно, и кроме того, наличие нескольких каналов не всегда достаточно для выполнения условий (5.50) или (5.51), (5.52). Поэтому на практике обеспечить абсолютную инвариантность систем управления удается в очень редких случаях. Примеры синтеза абсолютно инвариантных систем управления будут приведены ниже (см. §§ 7.5 и 8.3).

Селективная инвариантность. Пусть W_εg(p) представлена в виде

, (5.53)

где E(p) и D(p) – некоторые полиномы. Корни полинома D(p) являются корнями характеристического уравнения рассматриваемой системы, поэтому они всегда имеют отрицательные вещественные части, так как системы управления всегда конструируются устойчивыми. Изображение по Лапласу воздействий обычно имеет вид

. (5.54)

Здесь полином является -изображением данного воздействия . Фактически это характеристический полином некоторого однородного дифференциального уравнения, решение которого при соответствующих начальных условиях совпадает с данным воздействием . Нули полинома определяют характер или вид воздействия , точнее, его спектральные составляющие или показатели его мод типа .

Отметим также, что полином всегда совпадает со знаменателем изображения по Лапласу данного воздействия . Этот факт значительно упрощает определение -изображений заданных воздействий, так как позволяет использовать для этих целей традиционные таблицы преобразования Лапласа.

Пример 5.7. Найти -изображения воздействий и .

Решение. По таблицам преобразования Лапласа (см. Приложение П.1) найдем, что , т.е. . Аналогично найдём, что . ■

Предположим, изображение по Лапласу воздействия g(t) имеет вид (5.54). Тогда условием обеспечения селективной инвариантности системы с передаточной функцией по ошибке (5.53) к этому воздействию является равенство

(5.55)

или

. (5.56)

Здесь и – соответствующие полином и рациональная дробь.

Покажем, что это так. Действительно, при этих условиях изображение отклонения

. (5.57)

Корни полинома в выражении (5.57) в силу устойчивости системы имеют отрицательные вещественные части. Поэтому . Следовательно, отклонение при практически равно нулю, и тем самым выполняются указанные выше условия селективной инвариантности (5.49). ■

Для обеспечения условий селективной инвариантности (5.55) или (5.56) не требуется измерение воздействия. Поэтому их реализация значительно проще, по сравнению с реализацией условий абсолютной инвариантности. Практически эти условия можно всегда реализовать, но для этого необходимо знать структуру воздействия, т.е. его -изображение.

Совершенно аналогичный вид имеют условия как абсолютной, так и селективной инвариантности систем управления по отношению к внешним возмущениям.

Подчеркнём, что приведённые определения инвариантности и соотношения (5.48) – (5.57) относятся к ограниченным по величине воздействиям и структурным ошибкам систем управления.

Пример синтеза САУ с селективной инвариантностью приводится ниже (см. § 7.5).