Анализ формулы Банки

Зависимость от отношения и других факторов

Формула Банки определяет лопаточный кпд чисто активной ступени как функцию:

- отношения , однозначно связанного с числом Струхаля Sh [3];

- углов , , определяемых геометрическими соотноше­ниями профилей и лопаточных венцов;

- скоростных коэффициентов и , в свою очередь зави­сящих от этих соотношений и параметров и [3].

Таким образом, как и следовало ожидать, рассматриваемый кпд зависит от основных критериев работы ступени: отношения (Sh) и, в неявном виде, от и .

Считая, что ступень работает в зоне автомодельности по и рассмотрим влияние тех переменных, которые непосредственно, в явном виде, входят в выражение (3.17). В этом случае определяющим является влияние на кпд отношения .

Оценивая роль этого критерия, полагаем угол =const (соп­ловой аппарат при разных неизменен) и, следовательно, в условиях автомодельности =cost .

Изменение отношения и коэффициента при изменении является слабым и, как показали расчеты на ЭВМ, при изучении зависимости кпд от можно полагать и постоянными. Напомним еще раз, что каждому, отношению соответствуют свои рабочие лопатки.

При этих условиях лопаточный кпд является квадратичной функцией отношения . Легко видеть, что = 0 при =0 и при , так что функ­ция = ( ) должна иметь максимум в промежутке ука­занных значений .

Величину ( )_ОПТ (соответствующую максимальному зна­чению кпд ( )_МАХ ) можно найти, взяв производную от выражения (3.17) по (при сделанных выше допущениях) и приравняв ее нулю:

.

Далее получим:

(3.18)

Для одиночной активной ступени, выходная скорость которой не используется, при обычно применяемых значениях и

.

Зависимость = ( ) представлена на рис.3.5 в виде параболы. Максимальное значение кпд ( )_мах находим после подстановки правой части уравнения (3.18) в уравнение (3.17) вместо отношения , оно будет следующим:

. (3.19)

Выясним причины параболического характера зависимости = ( ), представленной на рис.3.5. Для этого, прежде всего, построим треугольники скоростей, характерные для трех случаев:

, ,

Это построение выполнено при =const. Для большей нагляд­ности принято:

- отношение изменяется за счет окружной скорости u при неизменной скорости = idem (при этом ( )=idem и располагаемый изоэнтропический перепад энталь­пий на ступень не меняется;

- = 0 при всех отно­шениях . Следова­тельно, и сжимае­мость не влияет на течение;

- при любом отношении , хотя и не постоянны при его измене­нии;

- и не зависят от .

Треугольники скоростей, построенные, исходя из этих допущений, показаны на рис.3.6. С их помощью рассмотрим одновременное изменение с отдельных составляющих потерь энергии, пользуясь энергетической формой представления кпд ступени. В соответствии с формулами (3.6)

.

Величину можно раскрыть так:

(учитывая, что при = 0, ).

Величина оказывается не зависящей от отношения . Аналогично раскрывается величина :

.

Как было показано выше,

.

При = 0, и . Из рис.3.6 видно, что становится меньше при увеличении отношения вплоть до = . Соответственно, монотонно уменьшается и , так что и эта составляющая потерь не может вызвать параболический характер зависимости. [Заметим, что в пределе при = , поскольку при этом и .]

Относительная потеря энергии с выходной скоростью

.

может быть представлена функцией от , однако она оказывается неявной.

Из рассмотрения треугольников скоростей, представленных на рис.3.6, следует, что выходная скорость при неизменной с ростом сперва убывает, затем возрастает. Также меняется отношение . Таким образом, параболический характер зависимости = ( ) в основном определяется измене­нием относительной потери энергии с выходной скоростью, так как при прочих равных условиях возрастает при отклонении отноше­ния от оптимального значения. Этот результат, а также соотношение величин относительных потерь в ступени показаны на рис.3.7. Если значения близки к оптимальным, то потери с выходной скоростью имеют тот же порядок величины, что и сумма по­терь в лопаточных венцах. При неоптимальных потери с вы­ходной скоростью существенно превышают потери в соплах и рабочих лопатках.

Интересно отметить, что при =( )_опт выход потока из ступени - неосевой. Легко показать, что в этом случае:

.

Поскольку <2, выражение, заключенное в квадратные скобки в последней формуле, положительно, вследствие чего >0. Это гово­рит о том, что при =( )_опт угол >90°.

Важно отметить, что значение , соот­ветствующее осевому выходу потока из ступени, а значит и минимуму относительных потерь энергии с выходной скоростыо , меньше, чем значение ( )_опт.

Действительно, проведя соответствующие выкладки, полу­чим:

.

Величина < 1, следовательно:

.

Сопоставляя величину ( )_ с выражением (3.18), прихо­дим к выводу:

( )_<( )_опт.

Заметим, что это соотношение сохраняется и при учете зависи­мости от , или при 0 .

Рассмотрим теперь зависимость кпд ступени от угла выхода по­тока из сопел . Этот угол явно влияет [см. формулу (3.17)] че­рез и неявно - через скоростные коэффициенты и . Если бы профильные и концевые потери, связанные с эффектом вязкости, не зависели от углов , и , то было бы рационально предельно снижать для повышения величины .

В действительности, как показано в [4] , при неизменной вы­соте облопачивания уменьшение угла приводит к увеличению профильных потерь в соплах, а также к росту угла поворота потока в сопловых и рабочих лопатках, и в итоге - к снижению коэффициен­тов и . Поэтому существуют оптимальные значения = . Расчеты и опыты показывают, что для активных ступеней со сравнительно короткими лопатками = 10-12^ .

Расчет по формуле (3.19) показывает, что для чисто активной ступени снижение на 1% вызывает снижение кпд на ~ 2%, тогда как снижение на 1% снижает кпд ступени лишь на ~ 0,5%, т.е. на величину, в четыре раза меньшую. Однако следует учитывать, что при значительных степенях реактивности ( > 0) это не так.

Напомним, что объектом приведенного анализа явилась теорети­ческая модель ступени, у которой изменение проходных площадей ра­бочих венцов от режима к режиму обеспечивало нулевую степень реак­тивности. Независимо от величины отношения , форма ло­паток могла быть оптимальной при любом его значении, а угол - безударным. Такие особенности теоретической модели позволяют, с од­ной стороны, раздельно оценить влияние каждого из рассмотренных факторов и, с другой стороны, при любом значении оперировать минимальными величинами потерь в сопловых и рабочих лопатках и, следовательно, предельными для данного режима значениями лопаточного кпд. И то и другое весьма важно для понимания работы реаль­ной ступени с неизменной геометрией проточной части. Поэтому даль­нейший анализ также будем вести применительно к ее теоретической модели.

Основываясь на зависимостях, полученных для коэффициента ступени, кинетическая энергия потока на выходе, из которой не ис­пользуется, перейдем к рассмотрению коэффициента ступени, выходная скорость которой используется.

Зависимость от и других факторов

Коэффициенты полезного действия и связаны выраже­нием (3.10). Графики = ( ) и = ( ) ступени с конкретными значениями

угла и коэффициентов и , построенные на основе формулы Банки (3.15) и формулы (3.10) совмещены на рис.3.8. Из их рассмотрения следует, что:

- при одних и тех же зна­чениях > ;

- разность имеет место за счет использования в следующей ступени кинетической энергии, соответствующей выходной ско­рости из предыдущей ступени;

- вблизи ( )_ОПТ разность невелика, при отклонении режима от расчетного она возрастает;

- оптимум графика сдвинут в сторону больших зна­чений по сравнению с оптимумом графика ;

- в области весьма малых и весьма больших график идет значительно круче графика .

В остальной области изменения зависимость = ( ) более полога, чем = ( ).

Таким образом, выигрыш в кпд вблизи ( )_опт невелик, но увеличивается при отклонении от оптимального значения, так как этот выигрыш происходит за счет использования ки­нетической энергии, соответствующей выходной скорости, которая уве­личивается по мере отклонения ( ) от оптимума.

Используя формулу (3.8), можно построить график зависимости кпд от ( ), представленный на рис.3.9. На этом же рисунке показаны графики

изменения относительных потерь в соплах ( ) и в рабочих лопатках ( ). Переменность относительных потерь в соплах, наблюдае­мая на рис.3.9, является следствием переменности располагаемого перепада . При = idem перепад зависит от отношения , поскольку из­менение последнего влияет на потери с выходной ско­ростью.

Разница , соответствующая режимам с ( )_ОПТ и с ( )_{c2  u} обычно невелика и часто за расчет­ное принимают то отношение , при котором .

Влияние угла на работу рассматриваемой ступени имеет тот же характер, что и для ступени без использования выходной скорости, но изменение кпд в зависимости от угла оказывается более слабым.

В конструкциях паровых и газовых турбин ступени с нулевой степенью реактивности ( =0) почти не применяются. Как правило, средняя степень реактивности в ступени положительна ( >0). Рассмотрим этот общий случай.